Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (π x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x + \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (π x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (π x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (π x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (π x)}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (π x)}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (π x)}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (π x)}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (π x)}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (π x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \cos (π x)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{1 + lim_{x \to 1} \cos (π x)}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{x \to 1} π x)}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (π lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (π \cdot 1)}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (π x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (π x)]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (π x)]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (π x)]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (π x)]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (π x)]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (π x)]}$

Passaggio 1.3.5

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (π x)]}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (π x)]}$

Passaggio 1.3.6.2

Riordina i termini.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (π x)]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cos (π x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (π x)]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]}$

Passaggio 1.3.9.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]}$

Passaggio 1.3.9.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]}$

Passaggio 1.3.9.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 1.3.9.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (π x) (π \cdot 1)}$

Passaggio 1.3.9.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (π x) π}$

Passaggio 1.3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.10.1

Sottrai $\sin (π x) π$ da $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- \sin (π x) π}$

Passaggio 1.3.10.2

Riordina i fattori di $- \sin (π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- π \sin (π x)}$

Passaggio 1.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}{- π \sin (π x)}$

Passaggio 1.4.2

$- 1$ e $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}{- π \sin (π x)}$

Passaggio 1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{- π \sin (π x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{π}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{- \sin (π x)}$

Passaggio 2.2

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1}{- \sin (π x)}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $\frac{1 - x}{x}$ per $\frac{1}{- \sin (π x)}$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \cdot - 1 \sin (π x)}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} x \cdot - 1 \sin (π x)}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \cdot - 1 \sin (π x)}$

Passaggio 3.1.2.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \cdot - 1 \sin (π x)}$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x \cdot - 1 \sin (π x)}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot - 1 \sin (π x)}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{- lim_{x \to 1} x \sin (π x)}$

Passaggio 3.1.3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{- lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 3.1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{- lim_{x \to 1} x \cdot \sin (lim_{x \to 1} π x)}$

Passaggio 3.1.3.4

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{- lim_{x \to 1} x \cdot \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 3.1.3.5

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{- 1 \cdot \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 3.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{- 1 \cdot \sin (π \cdot 1)}$

Passaggio 3.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.6.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{- 1 \cdot \sin (π)}$

Passaggio 3.1.3.6.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{- 1 \cdot \sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.6.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{- 1 \cdot 0}$

Passaggio 3.1.3.6.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.6.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{π} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \cdot - 1 \sin (π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \cdot - 1 \sin (π x)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \cdot - 1 \sin (π x)]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \cdot - 1 \sin (π x)]}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \cdot - 1 \sin (π x)]}$

Passaggio 3.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \cdot - 1 \sin (π x)]}$

Passaggio 3.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \cdot - 1 \sin (π x)]}$

Passaggio 3.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x \cdot - 1 \sin (π x)]}$

Passaggio 3.3.5

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x \cdot - 1 \sin (π x)]}$

Passaggio 3.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [- 1 \cdot x \sin (π x)]}$

Passaggio 3.3.7

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [- x \sin (π x)]}$

Passaggio 3.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x \sin (π x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x \sin (π x)]$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{- \frac{d}{d x} [x \sin (π x)]}$

Passaggio 3.3.9

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (π x)$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{- (x \frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \sin (π x) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.10

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.10.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π x$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{- (x \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x] + \sin (π x) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.10.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{- (x \cos (u) \frac{d}{d x} [π x] + \sin (π x) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.10.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{- (x \cos (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \sin (π x) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.11

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{- (x \cos (π x) π \frac{d}{d x} [x] + \sin (π x) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{- (x \cos (π x) π \cdot 1 + \sin (π x) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.13

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{- (x \cos (π x) π + \sin (π x) \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.3.14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{- (x \cos (π x) π + \sin (π x) \cdot 1)}$

Passaggio 3.3.15

Moltiplica $\sin (π x)$ per $1$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{- (x \cos (π x) π + \sin (π x))}$

Passaggio 3.3.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{- x \cos (π x) π - \sin (π x)}$

Passaggio 3.3.16.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{- π x \cos (π x) - \sin (π x)}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 1}{lim_{x \to 1} - π x \cos (π x) - \sin (π x)}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $- 1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} - π x \cos (π x) - \sin (π x)}$

Passaggio 4.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- lim_{x \to 1} π x \cos (π x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 4.4

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- π lim_{x \to 1} x \cos (π x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 4.5

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- π lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (π x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 4.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} π x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 4.7

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (π lim_{x \to 1} x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 4.8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (π lim_{x \to 1} x) - \sin (lim_{x \to 1} π x)}$

Passaggio 4.9

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (π lim_{x \to 1} x) - \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- π \cdot 1 \cdot \cos (π lim_{x \to 1} x) - \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- π \cdot 1 \cdot \cos (π \cdot 1) - \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- π \cdot 1 \cdot \cos (π \cdot 1) - \sin (π \cdot 1)}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- π \cdot \cos (π \cdot 1) - \sin (π \cdot 1)}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- π \cdot \cos (π) - \sin (π \cdot 1)}$

Passaggio 6.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- π \cdot (- \cos (0)) - \sin (π \cdot 1)}$

Passaggio 6.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- π \cdot (- 1 \cdot 1) - \sin (π \cdot 1)}$

Passaggio 6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{- π \cdot - 1 - \sin (π \cdot 1)}$

Passaggio 6.1.6

Moltiplica $- π \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{1 π - \sin (π \cdot 1)}$

Passaggio 6.1.6.2

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{π - \sin (π \cdot 1)}$

Passaggio 6.1.7

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{π - \sin (π)}$

Passaggio 6.1.8

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{π - \sin (0)}$

Passaggio 6.1.9

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{π - 0}$

Passaggio 6.1.10

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{π + 0}$

Passaggio 6.1.11

Somma $π$ e $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{- 1}{π}$

Passaggio 6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{π} (- \frac{1}{π})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{1}{π} (- \frac{1}{π})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{1}{π}$ per $\frac{1}{π}$ .

$- \frac{1}{π π}$

Passaggio 6.3.2

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{π^{1} π}$

Passaggio 6.3.3

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{π^{1} π^{1}}$

Passaggio 6.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{π^{1 + 1}}$

Passaggio 6.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{π^{2}}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{π^{2}}$

Forma decimale:

$- 0.10132118 \dots$