Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} (\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}) (1)$

Passaggio 1

Moltiplica $\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} \log_{4} (x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\log_{4} (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{\log_{4} (1)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Passaggio 2.1.2.3

Il logaritmo in base $4$ di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{0}{\log_{2} (lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 2.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{\log_{2} (1)}$

Passaggio 2.1.3.3

Il logaritmo in base $2$ di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\log_{4} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Passaggio 2.3.3

La derivata di $\log_{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (4)} (x \ln (2))$

Passaggio 2.5

Combina i fattori.

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Passaggio 2.5.1

$x$ e $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x}{x \ln (4)} \ln (2)$

Passaggio 2.5.2

$\frac{x}{x \ln (4)}$ e $\ln (2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

Passaggio 2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

Passaggio 3.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\ln (4)$ come $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (2^{2})}$

Passaggio 3.2.2

Espandi $\ln (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

Passaggio 3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$