Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} - x^{3}$

Passaggio 1

Moltiplica per razionalizzare il numeratore.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} - x^{3}) (\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3})}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Espandi il numeratore usando il metodo FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}}}^{2} + \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} x^{3} + \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} (- x^{3}) - x^{6}}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $x^{6}$ da $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3} + 0}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 5 x^{3}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{6} - 5 x^{3}$ .

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Passaggio 3.1.1.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} x^{3} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Passaggio 3.1.1.2

Scomponi $x^{3}$ da $- 5 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 5} + x^{3}}$

Passaggio 3.1.1.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $x^{3} (x^{3} - 5)$ come $x^{2} (x (x^{3} - 5))$ .

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Passaggio 3.1.2.1

Metti in evidenza $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{2} x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Passaggio 3.1.2.2

Aggiungi le parentesi.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{2} (x (x^{3} - 5))} + x^{3}}$

Passaggio 3.1.3

Estrai i termini dal radicale.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{x \sqrt{x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Passaggio 3.2

Sposta il termine $- 5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{x \sqrt{x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Passaggio 4

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x^{3}$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

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Passaggio 5.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{2}} + 1}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Passaggio 6

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 6.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{1} x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Passaggio 6.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{1 + 3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Passaggio 6.2

Somma $1$ e $3$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{4} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

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Passaggio 7.1

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Passaggio 7.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Passaggio 7.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Passaggio 7.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7.5

Scomponi $x$ da $x^{4} - 5 x$ .

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Passaggio 7.5.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} - 5 x}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7.5.2

Scomponi $x$ da $- 5 x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7.5.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{3} + x \cdot - 5$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 8

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x^{4}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 10

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x \cdot x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x \cdot x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 10.3

Riscrivi l'espressione.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 11

Calcola il limite.

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Passaggio 11.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 11.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 12

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x^{3}$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 13

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

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Passaggio 13.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 13.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 13.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

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Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 13.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 13.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 13.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 13.6

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 14

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{3}}$ tende a $0$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 15

Calcola il limite.

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Passaggio 15.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 15.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 15.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1} + 1}$

Passaggio 15.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 15.4.1

Dividi $1 - 5 \cdot 0$ per $1$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

Passaggio 15.4.2

Dividi $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ per $1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

Passaggio 15.4.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 15.4.3.1

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Passaggio 15.4.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Passaggio 15.4.3.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

Passaggio 15.4.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Passaggio 15.4.4

$- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Passaggio 15.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{2}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{5}{2}$

Forma decimale:

$- 2.5$