Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\frac{x^{\frac{1}{5}}}{1}}$

Passaggio 1

Dividi $x^{\frac{1}{5}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 2

Riscrivi $x^{\frac{1}{5}}$ come $\sqrt[5]{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\sqrt[5]{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt[5]{x}}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 3.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt[5]{x}}$

Passaggio 3.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt[5]{x}}$

Passaggio 3.1.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt[5]{x}}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.3.1

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{0}{\sqrt[5]{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Passaggio 3.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[5]{0}}$

Passaggio 3.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$\frac{0}{\sqrt[5]{0^{5}}}$

Passaggio 3.1.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\sqrt[5]{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]}$

Passaggio 3.3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{x}$ come $x^{\frac{1}{5}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]}$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}}$

Passaggio 3.3.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}}$

Passaggio 3.3.6

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}}$

Passaggio 3.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}}$

Passaggio 3.3.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}}$

Passaggio 3.3.8.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}}$

Passaggio 3.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}}$

Passaggio 3.3.10

Semplifica.

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Passaggio 3.3.10.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}}$

Passaggio 3.3.10.2

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) (5 x^{\frac{4}{5}})$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$5 lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) x^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 4.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$5 lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 4.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$5 \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 4.4

Sposta l'esponente $\frac{4}{5}$ da $x^{\frac{4}{5}}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$5 \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$5 \cos (0) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$5 \cos (0) \cdot 0^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$5 \cdot 1 \cdot 0^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 \cdot 0^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 6.3

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$5 \cdot {(0^{5})}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 6.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 6.5.1

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

Passaggio 6.5.2

Riscrivi l'espressione.

$5 \cdot 0^{4}$

Passaggio 6.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$5 \cdot 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $5$ per $0$ .

$0$