Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x^{2})}{x^{3}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{\ln (1 + {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Passaggio 1.1.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x^{2})}{x^{3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 1.3.7

$2$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{1 + x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 1.3.8

$\frac{2}{1 + x^{2}}$ e $x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 1.3.9

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 1.3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}{3 x^{2}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Passaggio 1.5

Moltiplica $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ per $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 1.6.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

Passaggio 1.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.6.2.1

Scomponi $x$ da $(x^{2} + 1) (3 x^{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{x ((x^{2} + 1) (3 x))}$

Passaggio 1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{x ((x^{2} + 1) (3 x))}$

Passaggio 1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{(x^{2} + 1) (3 x)}$

Passaggio 2

Poiché il numeratore è positivo e il denominatore $(x^{2} + 1) (3 x)$ tende a zero ed è maggiore di zero per $x$ vicino a $0$ a destra, la funzione aumenta senza limite.

$\infty$