Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Passaggio 1

Calcola il limite di $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Passaggio 2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ per $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ per $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta $\sqrt{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (\sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.1.2.3

Eleva $\sqrt{1 + t}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.1.2.4

Eleva $\sqrt{1 + t}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} {\sqrt{1 + t}}^{1})} - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.1.2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{1 + 1}} - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.1.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{2}} - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.1.2.7

Riscrivi ${\sqrt{1 + t}}^{2}$ come $1 + t$ .

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Passaggio 2.1.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + t}$ come ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.1.2.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.1.2.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.1.2.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{1}} - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.1.2.7.5

Semplifica.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{1}{t}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + t}{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t} \cdot \frac{1 + t}{1 + t}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $\frac{1}{t}$ per $\frac{1 + t}{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1 + t}{t (1 + t)}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{1 + t} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + t}$ come ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi $1 + t$ come ${({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{t (1 + t)}$

Passaggio 2.5.3

Sia $u = {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ con $u$ .

$\frac{u - u^{2}}{t (1 + t)}$

Passaggio 2.5.4

Scomponi $u$ da $u - u^{2}$ .

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Passaggio 2.5.4.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\frac{u^{1} - u^{2}}{t (1 + t)}$

Passaggio 2.5.4.2

Scomponi $u$ da $u^{1}$ .

$\frac{u \cdot 1 - u^{2}}{t (1 + t)}$

Passaggio 2.5.4.3

Scomponi $u$ da $- u^{2}$ .

$\frac{u \cdot 1 + u (- u)}{t (1 + t)}$

Passaggio 2.5.4.4

Scomponi $u$ da $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$\frac{u (1 - u)}{t (1 + t)}$

Passaggio 2.5.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{t (1 + t)}$

Passaggio 2.6

Sposta ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t (1 + t) {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $1 + t$ per ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.7.1

Sposta ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} (1 + t))}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ per $1 + t$ .

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Passaggio 2.7.2.1

Eleva $1 + t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + t)}^{1})}$

Passaggio 2.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 2.7.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

Passaggio 2.7.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$