Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0^{+}} x^{1.4} \cdot \ln (x)$

Passaggio 1

Riscrivi $x^{1.4} \cdot \ln (x)$ come $\frac{\ln (x)}{x^{- 1.4}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 1.4}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 1.4}}$

Passaggio 2.1.2

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\ln (x)$ diminuisce senza limite.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 1.4}}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{1.4}}}$

Passaggio 2.1.3.2

Poiché il numeratore è positivo e il denominatore $x^{1.4}$ tende a zero ed è maggiore di zero per $x$ vicino a $0$ a destra, la funzione aumenta senza limite.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 2.1.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 1.4}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 1.4}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 1.4}]}$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1.4}]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1.4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 1.4 x^{- 2.4}}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 1.4 \frac{1}{x^{2.4}}}$

Passaggio 2.3.4.2

$- 1.4$ e $\frac{1}{x^{2.4}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1.4}{x^{2.4}}}$

Passaggio 2.3.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1.4}{x^{2.4}}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{2.4}}{1.4})$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{x^{2.4}}{1.4}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2.4}}{x \cdot 1.4}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $x^{2.4}$ e $x$ .

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Passaggio 2.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2.4}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{1.4}}{x \cdot 1.4}$

Passaggio 2.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.6.2.1

Scomponi $x$ da $x \cdot 1.4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{1.4}}{x (1.4)}$

Passaggio 2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{1.4}}{x \cdot 1.4}$

Passaggio 2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{1.4}}{1.4}$

Passaggio 2.7

Moltiplica per $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1 x^{1.4}}{1.4}$

Passaggio 2.8

Scomponi $1.4$ da $1.4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1 x^{1.4}}{1.4 (1)}$

Passaggio 2.9

Frazioni separate.

$lim_{x \to 0^{+}} - (\frac{1}{1.4} \cdot \frac{x^{1.4}}{1})$

Passaggio 2.10

Dividi $1$ per $1.4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - (0.\overline{714285} \frac{x^{1.4}}{1})$

Passaggio 2.11

Dividi $x^{1.4}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - (0.\overline{714285} x^{1.4})$

Passaggio 2.12

Moltiplica $0.\overline{714285}$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - 0.\overline{714285} x^{1.4}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $- 0.\overline{714285}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 0.\overline{714285} lim_{x \to 0^{+}} x^{1.4}$

Passaggio 3.2

Sposta l'esponente $1.4$ da $x^{1.4}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$- 0.\overline{714285} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{1.4}$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- 0.\overline{714285} \cdot 0^{1.4}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 0.\overline{714285} \cdot 0$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 0.\overline{714285}$ per $0$ .

$0$