Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} (x^{3}) \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Passaggio 1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$lim_{x \to 0} x^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Passaggio 1.2

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

${(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Passaggio 2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$0^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Passaggio 3

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

Passaggio 4

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\sin (\frac{π}{x})$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

Passaggio 5

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0$ . Di conseguenza, il limite di $\sin (\frac{π}{x})$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $0$ .

$0$

Passaggio 6

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

Passaggio 7

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\sin (\frac{π}{x})$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

Passaggio 8

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0$ . Di conseguenza, il limite di $\sin (\frac{π}{x})$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $0$ .

$0^{3} \cdot 0 = 0$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $0^{3}$ per $0$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 9.1.1

Moltiplica $0^{3}$ per $0$ .

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Passaggio 9.1.1.1

Eleva $0$ alla potenza di $1$ .

$0^{3} \cdot 0^{1} = 0$

Passaggio 9.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0^{3 + 1} = 0$

Passaggio 9.1.2

Somma $3$ e $1$ .

$0^{4} = 0$

Passaggio 9.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 = 0$