Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x + x \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x + x \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.4.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\sin (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\sin (0) \cdot \cos (0)}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.5.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.5.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x + x \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + x \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.4.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.4.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.5

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.7

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.8

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.11

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 1.3.12

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.3.13

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}$

Passaggio 1.3.14

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Passaggio 1.3.15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.3.16

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.3.17

Semplifica.

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Passaggio 1.3.17.1

Riordina $- \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.3.17.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Passaggio 1.3.17.3

Espandi $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.3.17.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}$

Passaggio 1.3.17.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}$

Passaggio 1.3.17.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Passaggio 1.3.17.4

Combina i termini opposti in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Passaggio 1.3.17.4.1

Riordina i fattori nei termini di $\cos (x) (- \sin (x))$ e $\sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Passaggio 1.3.17.4.2

Somma $- \cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Passaggio 1.3.17.4.3

Somma $\cos (x) \cos (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Passaggio 1.3.17.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.17.5.1

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.17.5.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Passaggio 1.3.17.5.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Passaggio 1.3.17.5.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))}$

Passaggio 1.3.17.5.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Passaggio 1.3.17.5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)}$

Passaggio 1.3.17.5.3

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.17.5.3.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}$

Passaggio 1.3.17.5.3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}$

Passaggio 1.3.17.5.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.3.17.5.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.3.17.6

Applica l'identità a doppio angolo del coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (2 x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 2.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 2.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 2.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Passaggio 2.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Passaggio 2.8

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (0)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 \cdot 0 + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{0 + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 4.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 4.1.4

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{\cos (2 \cdot 0)}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{2}{\cos (0)}$

Passaggio 4.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{2}{1}$

Passaggio 4.3

Dividi $2$ per $1$ .

$2$