Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \cot (x^{2})$

Passaggio 1

Riscrivi $(x^{2}) \cot (x^{2})$ come $\frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Passaggio 2

Imposta il limite come un limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Passaggio 3

Risolvi il limite sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.1

Applica le identità trigonometriche.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.1.1

Riscrivi $\cot (x^{2})$ in termini di seno e coseno.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Passaggio 3.1.1.3.1.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.1.3.1.3

Converti da $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ a $\tan (x^{2})$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \tan (x^{2})}$

Passaggio 3.1.1.3.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})}$

Passaggio 3.1.1.3.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})}$

Passaggio 3.1.1.3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Passaggio 3.1.1.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Passaggio 3.1.1.3.4.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.1.3.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.1.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Passaggio 3.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Passaggio 3.1.3.3

Riscrivi $\cot (x^{2})$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Passaggio 3.1.3.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Passaggio 3.1.3.5

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Passaggio 3.1.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.6.1

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Passaggio 3.1.3.6.2

Moltiplica $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Passaggio 3.1.3.7

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sin (x^{2})$ e $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.8.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.9

Eleva $\cos (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.10

Eleva $\cos (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.12

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.14

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.14.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.14.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.14.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.16

Moltiplica $\sin (x^{2})$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.17

Eleva $\sin (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.18

Eleva $\sin (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.19

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.20

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.21

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.22

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.22.1

Scomponi $2 x$ da $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.22.1.1

Scomponi $2 x$ da $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.22.1.2

Scomponi $2 x$ da $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.22.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.22.2

Rimetti in ordine i termini.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.22.3

Applica l'identità pitagorica.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.3.22.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0^{-}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Passaggio 3.1.5

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

$2$ e $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Passaggio 3.1.5.2

$x$ e $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Passaggio 3.1.6

Riduci.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Passaggio 3.1.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Passaggio 3.1.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Passaggio 3.1.6.2.2

Dividi $\cos^{2} (x^{2})$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \cos^{2} (x^{2})$

Passaggio 3.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x^{2})$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

${(lim_{x \to 0^{-}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Passaggio 3.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})$

Passaggio 3.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\cos^{2} (0^{2})$

Passaggio 3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Passaggio 3.4.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$1^{2}$

Passaggio 3.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1$

Passaggio 4

Imposta il limite come un limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Passaggio 5

Risolvi il limite destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.1

Applica le identità trigonometriche.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.1.1

Riscrivi $\cot (x^{2})$ in termini di seno e coseno.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Passaggio 5.1.1.3.1.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.1.3.1.3

Converti da $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ a $\tan (x^{2})$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x^{2})}$

Passaggio 5.1.1.3.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}$

Passaggio 5.1.1.3.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})}$

Passaggio 5.1.1.3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Passaggio 5.1.1.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Passaggio 5.1.1.3.4.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.1.3.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.1.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Passaggio 5.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Passaggio 5.1.3.3

Riscrivi $\cot (x^{2})$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Passaggio 5.1.3.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Passaggio 5.1.3.5

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Passaggio 5.1.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.6.1

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Passaggio 5.1.3.6.2

Moltiplica $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Passaggio 5.1.3.7

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.8.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.9

Eleva $\cos (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.10

Eleva $\cos (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.12

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.14

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.14.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.14.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.14.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.16

Moltiplica $\sin (x^{2})$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.17

Eleva $\sin (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.18

Eleva $\sin (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.19

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.20

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.21

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.22

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.22.1

Scomponi $2 x$ da $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.22.1.1

Scomponi $2 x$ da $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.22.1.2

Scomponi $2 x$ da $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.22.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.22.2

Rimetti in ordine i termini.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.22.3

Applica l'identità pitagorica.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.3.22.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Passaggio 5.1.5

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

$2$ e $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Passaggio 5.1.5.2

$x$ e $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Passaggio 5.1.6

Riduci.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Passaggio 5.1.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Passaggio 5.1.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Passaggio 5.1.6.2.2

Dividi $\cos^{2} (x^{2})$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x^{2})$

Passaggio 5.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x^{2})$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

${(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Passaggio 5.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})$

Passaggio 5.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\cos^{2} (0^{2})$

Passaggio 5.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Passaggio 5.4.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$1^{2}$

Passaggio 5.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1$

Passaggio 6

Poiché il limite sinistro è uguale al limite destro, il limite è uguale a $1$ .

$1$