Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} (1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Passaggio 1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Passaggio 2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Passaggio 3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Passaggio 4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Passaggio 5

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Passaggio 6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Passaggio 7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Passaggio 8

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (\frac{2 π}{x})$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Passaggio 9

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\sqrt{0^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Passaggio 9.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Passaggio 10

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{2 π}{x})$

Passaggio 11

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\sin (\frac{2 π}{x})$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & - 0.54407169 \\ - 0.001 & 0.8937534 \\ - 0.0001 & - 0.99742913 \\ - 0.00001 & 0.41991556 \\ - 0.000001 & - 0.22195154 \\ - 0.0000001 & 0.97486841 \\ - 0.00000001 & - 0.78016272 \\ 0 & 0.00000197 \\ 0 & 0.00003499 \end{array}$

Passaggio 12

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0$ . Di conseguenza, il limite di $\sin (\frac{2 π}{x})$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $0$ .

$0$

Passaggio 13

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{2 π}{x})$

Passaggio 14

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\sin (\frac{2 π}{x})$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & - 0.95891572 \\ 0.001 & - 0.17658004 \\ 0.0001 & - 0.21424608 \\ 0.00001 & - 0.75115029 \\ 0.000001 & - 0.99796383 \\ 0.0000001 & 0.06293287 \\ 0.00000001 & 0.37855005 \\ 0 & - 0.00000197 \\ 0 & - 0.00003499 \end{array}$

Passaggio 15

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0$ . Di conseguenza, il limite di $\sin (\frac{2 π}{x})$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $0$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

Passaggio 16

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\sqrt{0 - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

Passaggio 16.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\sqrt{0 - 0} \cdot (1 - 0^{2})$

Passaggio 16.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\sqrt{0 + 0} \cdot (1 - 0^{2})$

Passaggio 16.4

Somma $0$ e $0$ .

$\sqrt{0} \cdot (1 - 0^{2})$

Passaggio 16.5

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot (1 - 0^{2})$

Passaggio 16.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$0 \cdot (1 - 0^{2})$

Passaggio 16.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.7.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 \cdot (1 - 0)$

Passaggio 16.7.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 \cdot (1 + 0)$

Passaggio 16.8

Somma $1$ e $0$ .

$0 \cdot 1$

Passaggio 16.9

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0$