Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 1

Applica le identità trigonometriche.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}$ come un prodotto.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Passaggio 1.2

Scrivi $\sin (4 x)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Dividi $\sin (4 x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Passaggio 1.3.2

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \csc (x)}$

Passaggio 2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\sqrt{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \csc (x)}$

Passaggio 3

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (4 x) \csc (x)$

Passaggio 4

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\sin (4 x) \csc (x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 3.9006813 \\ - 0.01 & 3.99900006 \\ - 0.001 & 3.99999 \\ - 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

Passaggio 5

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $4$ . Di conseguenza, il limite di $\sin (4 x) \csc (x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $4$ .

$4$

Passaggio 6

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (4 x) \csc (x)$

Passaggio 7

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\sin (4 x) \csc (x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ 0.1 & 3.9006813 \\ 0.01 & 3.99900006 \\ 0.001 & 3.99999 \\ 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

Passaggio 8

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $4$ . Di conseguenza, il limite di $\sin (4 x) \csc (x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $4$ .

$\sqrt{4}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Passaggio 9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$2$