Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{x^{9} - x^{8}}{1 - x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{9} - x^{8}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{9} - lim_{x \to 1} x^{8}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $9$ da $x^{9}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{9} - lim_{x \to 1} x^{8}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta l'esponente $8$ da $x^{8}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{9} - {(lim_{x \to 1} x)}^{8}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1^{9} - {(lim_{x \to 1} x)}^{8}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1^{9} - 1^{8}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 - 1^{8}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Passaggio 1.1.2.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{9} - x^{8}}{1 - x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9} - x^{8}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9} - x^{8}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{9} - x^{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$lim_{x \to 1} \frac{9 x^{8} + \frac{d}{d x} [- x^{8}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{8}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [x^{8}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$lim_{x \to 1} \frac{9 x^{8} - (8 x^{7})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{9 x^{8} - 8 x^{7}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{9 x^{8} - 8 x^{7}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{9 x^{8} - 8 x^{7}}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 1.3.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{9 x^{8} - 8 x^{7}}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{9 x^{8} - 8 x^{7}}{0 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.7.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{9 x^{8} - 8 x^{7}}{0 - 1}$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{9 x^{8} - 8 x^{7}}{- 1}$

Passaggio 1.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{9 x^{8} - 8 x^{7}}{- 1}$ .

$lim_{x \to 1} - 1 \cdot (9 x^{8} - 8 x^{7})$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to 1} 9 x^{8} - 8 x^{7}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$- (lim_{x \to 1} 9 x^{8} - lim_{x \to 1} 8 x^{7})$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- (9 lim_{x \to 1} x^{8} - lim_{x \to 1} 8 x^{7})$

Passaggio 2.4

Sposta l'esponente $8$ da $x^{8}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$- (9 {(lim_{x \to 1} x)}^{8} - lim_{x \to 1} 8 x^{7})$

Passaggio 2.5

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- (9 {(lim_{x \to 1} x)}^{8} - 8 lim_{x \to 1} x^{7})$

Passaggio 2.6

Sposta l'esponente $7$ da $x^{7}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$- (9 {(lim_{x \to 1} x)}^{8} - 8 {(lim_{x \to 1} x)}^{7})$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$- (9 \cdot 1^{8} - 8 {(lim_{x \to 1} x)}^{7})$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$- (9 \cdot 1^{8} - 8 \cdot 1^{7})$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (9 \cdot 1 - 8 \cdot 1^{7})$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $9$ per $1$ .

$- (9 - 8 \cdot 1^{7})$

Passaggio 4.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (9 - 8 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- (9 - 8)$

Passaggio 4.2

Sottrai $8$ da $9$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$