Calcolo Esempi

$\frac{e^{2 x}}{2 x}$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{e^{2 x}}{2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{2 x}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x} \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 4.5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x}}{x^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x}}{x^{2}}$ .

$\frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Passaggio 5.2

Riordina i termini.

$\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Passaggio 5.3

Scomponi $e^{2 x}$ da $2 e^{2 x} x - e^{2 x}$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $2 e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $e^{2 x}$ da $- e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2 x^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2 x^{2}}$