Calcolo Esempi

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 x - 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(2 x + 1)}^{- 1}$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

${(2 x + 1)}^{- 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(2 x + 1)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(2 x + 1)}^{- 1} (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $3$ e $0$ .

${(2 x + 1)}^{- 1} \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Passaggio 2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di ${(2 x + 1)}^{- 1}$ .

$3 \cdot {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 1$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 4.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + 0))$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- {(2 x + 1)}^{- 2} \cdot 2)$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 {(2 x + 1)}^{- 1} + (3 x - 1) (- 2 {(2 x + 1)}^{- 2})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i termini.

$- 2 {(2 x + 1)}^{- 2} (3 x - 1) + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x - 1) + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Passaggio 5.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x - 1) + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Passaggio 5.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x - 1) + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x) - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} (3 x)$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Passaggio 5.2.5.2

$- 3$ e $\frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Passaggio 5.2.5.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{- 6}{{(2 x + 1)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Passaggio 5.2.5.4

$\frac{- 6}{{(2 x + 1)}^{2}}$ e $x$ .

$\frac{- 6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} - \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1 + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} \cdot - 1$ .

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Passaggio 5.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + 1 \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Passaggio 5.2.6.2

Moltiplica $\frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$ per $1$ .

$\frac{- 6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Passaggio 5.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + 3 {(2 x + 1)}^{- 1}$

Passaggio 5.2.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + 3 \frac{1}{2 x + 1}$

Passaggio 5.2.9

$3$ e $\frac{1}{2 x + 1}$ .

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3}{2 x + 1}$

Passaggio 5.3

Per scrivere $\frac{3}{2 x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(2 x + 1)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica $\frac{3}{2 x + 1}$ per $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x + 1)} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Eleva $2 x + 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{1} (2 x + 1)} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.3

Eleva $2 x + 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{1} {(2 x + 1)}^{1}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{6 x}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 6 x + 3 (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}} + \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 6 x + 3 (2 x + 1) + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{- 6 x + 6 x + 3 \cdot 1 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{- 6 x + 6 x + 3 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.8

Somma $- 6 x$ e $6 x$ .

$\frac{0 + 3 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.9

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{3 + 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.10

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{5}{{(2 x + 1)}^{2}}$