Calcolo Esempi

${(3 x + 2)}^{2} e^{5 x} + \sin (3 x)$

Passaggio 1

Riscrivi ${(3 x + 2)}^{2}$ come $(3 x + 2) (3 x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x + 2) (3 x + 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Passaggio 2

Espandi $(3 x + 2) (3 x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x + 2)) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 6 x + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 6 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Passaggio 3.2

Somma $6 x$ e $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

Passaggio 4

Secondo la regola della somma, la derivata di $(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5

Calcola $\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 9 x^{2} + 12 x + 4$ e $g (x) = e^{5 x}$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 x$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} + 12 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.6

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.8

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.10

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.11

Moltiplica $5$ per $1$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.12

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.13

Sposta $5$ alla sinistra di $9 x^{2} + 12 x + 4$ .

$5 \cdot (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.14

Moltiplica $2$ per $9$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.15

Moltiplica $12$ per $1$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 5.16

Somma $18 x + 12$ e $0$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 6

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 6.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 6.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Passaggio 6.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) \cdot 3$

Passaggio 6.5

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (3 x)$ .

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$(5 (9 x^{2}) + 5 (12 x) + 5 \cdot 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 (9 x^{2}) e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 (9 x^{2}) e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Passaggio 7.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica $9$ per $5$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $12$ per $5$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Passaggio 7.4.3

Moltiplica $5$ per $4$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

Passaggio 7.4.4

Sposta $12$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + 12 \cdot e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Passaggio 7.4.5

Somma $60 x e^{5 x}$ e $e^{5 x} (18 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.5.1

Sposta $e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 18 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + 12 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Passaggio 7.4.5.2

Somma $60 x e^{5 x}$ e $18 x e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + 12 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Passaggio 7.4.6

Somma $20 e^{5 x}$ e $12 e^{5 x}$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Passaggio 7.5

Riordina i termini.

$45 e^{5 x} x^{2} + 78 e^{5 x} x + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

Passaggio 7.6

Riordina i fattori in $45 e^{5 x} x^{2} + 78 e^{5 x} x + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$ .

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$