Calcolo Esempi

${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ è $f' (g (v)) g' (v)$ dove $f (v) = v^{- \frac{1}{2}}$ e $g (v) = 1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Passaggio 6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.2.1

${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Passaggio 6.2.2

Sposta ${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Passaggio 6.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}])$

Passaggio 6.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $1$ rispetto a $v$ è $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}])$

Passaggio 6.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Passaggio 6.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $- {(\frac{v}{c})}^{2}$ rispetto a $v$ è $- \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}])$

Passaggio 6.7

Moltiplica.

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Passaggio 6.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$

Passaggio 6.7.2

Moltiplica $\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ è $f' (g (v)) g' (v)$ dove $f (v) = v^{2}$ e $g (v) = \frac{v}{c}$ .

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Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{v}{c}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{v}{c}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{v}{c} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 8.1

$2$ e $\frac{v}{c}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 v}{c} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

Passaggio 8.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $\frac{2 v}{c}$ per $\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 v}{c (2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 v}{c (2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

Passaggio 8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

Passaggio 8.3

Poiché $\frac{1}{c}$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $\frac{v}{c}$ rispetto a $v$ è $\frac{1}{c} \frac{d}{d v} [v]$ .

$\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} (\frac{1}{c} \frac{d}{d v} [v])$

Passaggio 8.4

Moltiplica $\frac{1}{c}$ per $\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})}$ .

$\frac{v}{c (c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}))} \frac{d}{d v} [v]$

Passaggio 9

Eleva $c$ alla potenza di $1$ .

$\frac{v}{c^{1} c {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

Passaggio 10

Eleva $c$ alla potenza di $1$ .

$\frac{v}{c^{1} c^{1} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

Passaggio 11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{v}{c^{1 + 1} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

Passaggio 12

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 14

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 14.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{v}{c}$ .

$\frac{v}{c^{2} {(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})}^{\frac{3}{2}}}$