Calcolo Esempi

$\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t}$

Passaggio 1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{t}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (4 t - \frac{π}{4})}{t}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = \sin (4 t - \frac{π}{4})$ e $g (t) = t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [\sin (4 t - \frac{π}{4})] - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 4 t - \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 t - \frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [4 t - \frac{π}{4}]) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (u) \frac{d}{d t} [4 t - \frac{π}{4}]) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 t - \frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [4 t - \frac{π}{4}]) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 t - \frac{π}{4}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{4}])) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 4.5

Poiché $- \frac{π}{4}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{π}{4}$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) (4 + 0)) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\cos (4 t - \frac{π}{4}) \cdot 4) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (4 t - \frac{π}{4})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (4 \cdot \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4}) \cdot 1}{t^{2}}$

Passaggio 4.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{t^{2}}$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{t^{2}}$ .

$\frac{t (4 \cos (4 t - \frac{π}{4})) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t^{2}}$

Passaggio 4.8.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 t \cos (4 t - \frac{π}{4}) - \sin (4 t - \frac{π}{4})}{3 t^{2}}$