Calcolo Esempi

$9 \sqrt{t} e^{t} + t$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 \sqrt{t} e^{t} + t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [9 t^{\frac{1}{2}} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $9 t^{\frac{1}{2}} e^{t}$ rispetto a $t$ è $9 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} e^{t}]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = e^{t}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}] + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.11

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.12

$e^{t}$ e $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t} t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.13

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 1$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t}) + 9 \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$

Passaggio 4.2

$9$ e $\frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$9 t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{9 e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$9 e^{t} t^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$