Calcolo Esempi

$\frac{\cos (6 t)}{t^{3} - 27}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = \cos (6 t)$ e $g (t) = t^{3} - 27$ .

$\frac{(t^{3} - 27) \frac{d}{d t} [\cos (6 t)] - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 6 t$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 t$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (u) \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 t$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (6 t) \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6 t$ rispetto a $t$ è $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (6 t) (6 \frac{d}{d t} [t])) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t) \frac{d}{d t} [t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t) \cdot 1) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{3} - 27$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27]$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27])}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 27])}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Poiché $- 27$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 27$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2} + 0)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.8.1

Somma $3 t^{2}$ e $0$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2})}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{3} (- 6 \sin (6 t)) - 27 (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) - 27 (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $- 27$ .

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Riordina i fattori in $- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 \cos (6 t) t^{2}$ .

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 t^{2} \cos (6 t)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) - 3 t^{2} \cos (6 t) + 162 \sin (6 t)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$