Calcolo Esempi

$x \tan (4 \sqrt{x}) + 14$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \tan (4 \sqrt{x}) + 14$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (4 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (4 x^{\frac{1}{2}})] + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.12

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.13

$4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.14

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.15

Scomponi $2$ da $4$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.16

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.16.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.16.2

Elimina il fattore comune.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.16.3

Riscrivi l'espressione.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.17

$\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x \frac{\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.18

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{2 \cdot \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.19

$x$ e $\frac{2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.20

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) x^{- \frac{1}{2}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.21

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.21.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.21.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

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Passaggio 2.21.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.21.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{- \frac{1}{2} + 1} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.21.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.21.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.21.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 2.22

Moltiplica $\tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [14]$

Passaggio 3

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) + 0$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Somma $x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$2 x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$