Calcolo Esempi

$(x) (22 - 2 x) (22 - 2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Eleva $22 - 2 x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [x ({(22 - 2 x)}^{1} (22 - 2 x))]$

Passaggio 1.2

Eleva $22 - 2 x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [x ({(22 - 2 x)}^{1} {(22 - 2 x)}^{1})]$

Passaggio 1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [x {(22 - 2 x)}^{1 + 1}]$

Passaggio 1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [x {(22 - 2 x)}^{2}]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(22 - 2 x)}^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(22 - 2 x)}^{2}] + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 22 - 2 x$ .

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Passaggio 1.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $22 - 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $22 - 2 x$ .

$x (2 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7

Differenzia.

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Passaggio 1.7.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $22 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) (\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.2

Poiché $22$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $22$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (2 (22 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$x (- 4 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x) \cdot 1) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.7

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

Passaggio 1.7.9

Moltiplica ${(22 - 2 x)}^{2}$ per $1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1.8

Semplifica.

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Passaggio 1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (- 4 \cdot 22 - 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (- 4 \cdot 22) + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1.8.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.8.3.1

Moltiplica $- 4$ per $22$ .

$x \cdot - 88 + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1.8.3.2

Sposta $- 88$ alla sinistra di $x$ .

$- 88 \cdot x + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1.8.3.3

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$- 88 x + x (8 x) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1.8.3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 88 x + 8 (x^{1} x) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1.8.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 88 x + 8 (x^{1} x^{1}) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1.8.3.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 88 x + 8 x^{1 + 1} + {(22 - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1.8.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$- 88 x + 8 x^{2} + {(22 - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1.8.4

Riordina i termini.

$8 x^{2} + {(22 - 2 x)}^{2} - 88 x$

Passaggio 1.8.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.8.5.1

Riscrivi ${(22 - 2 x)}^{2}$ come $(22 - 2 x) (22 - 2 x)$ .

$8 x^{2} + (22 - 2 x) (22 - 2 x) - 88 x$

Passaggio 1.8.5.2

Espandi $(22 - 2 x) (22 - 2 x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.8.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 x^{2} + 22 (22 - 2 x) - 2 x (22 - 2 x) - 88 x$

Passaggio 1.8.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 x^{2} + 22 \cdot 22 + 22 (- 2 x) - 2 x (22 - 2 x) - 88 x$

Passaggio 1.8.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 x^{2} + 22 \cdot 22 + 22 (- 2 x) - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Passaggio 1.8.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.8.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.8.5.3.1.1

Moltiplica $22$ per $22$ .

$8 x^{2} + 484 + 22 (- 2 x) - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Passaggio 1.8.5.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $22$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Passaggio 1.8.5.3.1.3

Moltiplica $22$ per $- 2$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Passaggio 1.8.5.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 88 x$

Passaggio 1.8.5.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.8.5.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 88 x$

Passaggio 1.8.5.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 x^{2} - 88 x$

Passaggio 1.8.5.3.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x + 4 x^{2} - 88 x$

Passaggio 1.8.5.3.2

Sottrai $44 x$ da $- 44 x$ .

$8 x^{2} + 484 - 88 x + 4 x^{2} - 88 x$

Passaggio 1.8.6

Somma $8 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 484 - 88 x - 88 x$

Passaggio 1.8.7

Sottrai $88 x$ da $- 88 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 484 - 176 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{2} + 484 - 176 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Passaggio 2.3

Poiché $484$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $484$ rispetto a $x$ è $0$ .

$24 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 176$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 176 x$ rispetto a $x$ è $- 176 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 0 - 176 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$24 x + 0 - 176 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 176$ per $1$ .

$24 x + 0 - 176$

Passaggio 2.5

Somma $24 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 176$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $24 x - 176$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 176]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 176]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $24$ per $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [- 176]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 176$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 176$ rispetto a $x$ è $0$ .

$24 + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $24$ e $0$ .

$f''' (x) = 24$

Passaggio 4

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f^{4} (x) = 0$