Calcolo Esempi

${(x^{2} - 16)}^{5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 16$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} (2 x + 0)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$5 {(x^{2} - 16)}^{4} (2 x)$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{4} x$

Passaggio 1.2.4.3

Riordina i fattori di $10 {(x^{2} - 16)}^{4} x$ .

$f' (x) = 10 x {(x^{2} - 16)}^{4}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x {(x^{2} - 16)}^{4}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 16)}^{4}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 16)}^{4}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 16)}^{4}$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{4}] + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 16$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$10 (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 16$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} (2 x + 0)) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$10 (x (4 {(x^{2} - 16)}^{3} (2 x)) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$10 (x (8 {(x^{2} - 16)}^{3} x) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 (x^{1} x (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 (x^{1} x^{1} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 (x^{1 + 1} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4} \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Moltiplica ${(x^{2} - 16)}^{4}$ per $1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} - 16)}^{3}) + {(x^{2} - 16)}^{4})$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} - 16)}^{3})) + 10 {(x^{2} - 16)}^{4}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $8$ per $10$ .

$80 (x^{2} ({(x^{2} - 16)}^{3})) + 10 {(x^{2} - 16)}^{4}$

Passaggio 2.11.3

Scomponi $10 {(x^{2} - 16)}^{3}$ da $80 x^{2} {(x^{2} - 16)}^{3} + 10 {(x^{2} - 16)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.3.1

Scomponi $10 {(x^{2} - 16)}^{3}$ da $80 x^{2} {(x^{2} - 16)}^{3}$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} - 16)}^{4}$

Passaggio 2.11.3.2

Scomponi $10 {(x^{2} - 16)}^{3}$ da $10 {(x^{2} - 16)}^{4}$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} - 16)}^{3} (x^{2} - 16)$

Passaggio 2.11.3.3

Scomponi $10 {(x^{2} - 16)}^{3}$ da $10 {(x^{2} - 16)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} - 16)}^{3} (x^{2} - 16)$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{3} (8 x^{2} + x^{2} - 16)$

Passaggio 2.11.4

Somma $8 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = 10 {(x^{2} - 16)}^{3} (9 x^{2} - 16)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 {(x^{2} - 16)}^{3} (9 x^{2} - 16)$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3} (9 x^{2} - 16)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3} (9 x^{2} - 16)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(x^{2} - 16)}^{3}$ e $g (x) = 9 x^{2} - 16$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16] + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Passaggio 3.3.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (18 x + \frac{d}{d x} [- 16]) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (18 x + 0) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Passaggio 3.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Somma $18 x$ e $0$ .

$10 ({(x^{2} - 16)}^{3} (18 x) + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Passaggio 3.3.6.2

Sposta $18$ alla sinistra di ${(x^{2} - 16)}^{3}$ .

$10 (18 \cdot {(x^{2} - 16)}^{3} x + (9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 16)}^{3}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 16$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + (9 x^{2} - 16) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]))$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + (9 x^{2} - 16) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]))$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 16$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + (9 x^{2} - 16) (3 {(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]))$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta $3$ alla sinistra di $9 x^{2} - 16$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 \cdot (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16])$

Passaggio 3.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]))$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16]))$

Passaggio 3.5.4

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} (2 x + 0))$

Passaggio 3.5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 3 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} (2 x))$

Passaggio 3.5.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 6 (9 x^{2} - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x + (6 (9 x^{2}) + 6 \cdot - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Passaggio 3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$10 (18 {(x^{2} - 16)}^{3} x) + 10 ((6 (9 x^{2}) + 6 \cdot - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Passaggio 3.6.3

Moltiplica $18$ per $10$ .

$180 ({(x^{2} - 16)}^{3} x) + 10 ((6 (9 x^{2}) + 6 \cdot - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Passaggio 3.6.4

Moltiplica $9$ per $6$ .

$180 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 10 ((54 x^{2} + 6 \cdot - 16) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Passaggio 3.6.5

Moltiplica $6$ per $- 16$ .

$180 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 10 ((54 x^{2} - 96) {(x^{2} - 16)}^{2} x)$

Passaggio 3.6.6

Scomponi $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x$ da $180 {(x^{2} - 16)}^{3} x + 10 (54 x^{2} - 96) {(x^{2} - 16)}^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.6.1

Scomponi $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x$ da $180 {(x^{2} - 16)}^{3} x$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16)) + 10 (54 x^{2} - 96) {(x^{2} - 16)}^{2} x$

Passaggio 3.6.6.2

Scomponi $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x$ da $10 (54 x^{2} - 96) {(x^{2} - 16)}^{2} x$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16)) + 10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.6.3

Scomponi $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x$ da $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16)) + 10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (54 x^{2} - 96)$ .

$10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.7

Riordina i fattori di $10 {(x^{2} - 16)}^{2} x (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$ .

$10 x {(x^{2} - 16)}^{2} (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.8

Riscrivi ${(x^{2} - 16)}^{2}$ come $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ .

$10 x ((x^{2} - 16) (x^{2} - 16)) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.9

Espandi $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 x (x^{2} (x^{2} - 16) - 16 (x^{2} - 16)) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$10 x (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 (x^{2} - 16)) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 x (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.10

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.10.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.10.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 x (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.10.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$10 x (x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.10.1.2

Sposta $- 16$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$10 x (x^{4} - 16 \cdot x^{2} - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.10.1.3

Moltiplica $- 16$ per $- 16$ .

$10 x (x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.10.2

Sottrai $16 x^{2}$ da $- 16 x^{2}$ .

$10 x (x^{4} - 32 x^{2} + 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.11

Applica la proprietà distributiva.

$(10 x \cdot x^{4} + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.12.1

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.12.1.1

Sposta $x^{4}$ .

$(10 (x^{4} x) + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.12.1.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.12.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(10 (x^{4} x^{1}) + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.12.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(10 x^{4 + 1} + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.12.1.3

Somma $4$ e $1$ .

$(10 x^{5} + 10 x (- 32 x^{2}) + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.12.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 x \cdot x^{2} + 10 x \cdot 256) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.12.3

Moltiplica $256$ per $10$ .

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 x \cdot x^{2} + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.13.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.13.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 (x^{2} x) + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.13.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.13.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 (x^{2} x^{1}) + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.13.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 x^{2 + 1} + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.13.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$(10 x^{5} + 10 \cdot - 32 x^{3} + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.13.2

Moltiplica $10$ per $- 32$ .

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (18 (x^{2} - 16) + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.14

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (18 x^{2} + 18 \cdot - 16 + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.14.2

Moltiplica $18$ per $- 16$ .

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (18 x^{2} - 288 + 54 x^{2} - 96)$

Passaggio 3.6.15

Somma $18 x^{2}$ e $54 x^{2}$ .

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (72 x^{2} - 288 - 96)$

Passaggio 3.6.16

Sottrai $96$ da $- 288$ .

$(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (72 x^{2} - 384)$

Passaggio 3.6.17

Espandi $(10 x^{5} - 320 x^{3} + 2560 x) (72 x^{2} - 384)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$10 x^{5} (72 x^{2}) + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.18.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$10 \cdot 72 x^{5} x^{2} + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.2

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.18.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$10 \cdot 72 (x^{2} x^{5}) + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 \cdot 72 x^{2 + 5} + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.2.3

Somma $2$ e $5$ .

$10 \cdot 72 x^{7} + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.3

Moltiplica $10$ per $72$ .

$720 x^{7} + 10 x^{5} \cdot - 384 - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.4

Moltiplica $- 384$ per $10$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 x^{3} (72 x^{2}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 \cdot 72 x^{3} x^{2} - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.6

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.6.18.6.1

Sposta $x^{2}$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 \cdot 72 (x^{2} x^{3}) - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 \cdot 72 x^{2 + 3} - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.6.3

Somma $2$ e $3$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 320 \cdot 72 x^{5} - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.7

Moltiplica $- 320$ per $72$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} - 320 x^{3} \cdot - 384 + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.8

Moltiplica $- 384$ per $- 320$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 x (72 x^{2}) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 x \cdot x^{2} + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.10

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.6.18.10.1

Sposta $x^{2}$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 (x^{2} x) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.10.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.18.10.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 (x^{2} x^{1}) + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 x^{2 + 1} + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 2560 \cdot 72 x^{3} + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.11

Moltiplica $2560$ per $72$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 184320 x^{3} + 2560 x \cdot - 384$

Passaggio 3.6.18.12

Moltiplica $- 384$ per $2560$ .

$720 x^{7} - 3840 x^{5} - 23040 x^{5} + 122880 x^{3} + 184320 x^{3} - 983040 x$

Passaggio 3.6.19

Sottrai $23040 x^{5}$ da $- 3840 x^{5}$ .

$720 x^{7} - 26880 x^{5} + 122880 x^{3} + 184320 x^{3} - 983040 x$

Passaggio 3.6.20

Somma $122880 x^{3}$ e $184320 x^{3}$ .

$f''' (x) = 720 x^{7} - 26880 x^{5} + 307200 x^{3} - 983040 x$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $720 x^{7} - 26880 x^{5} + 307200 x^{3} - 983040 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [720 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$ .

$\frac{d}{d x} [720 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [720 x^{7}]$ .

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Passaggio 4.2.1

Poiché $720$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $720 x^{7}$ rispetto a $x$ è $720 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$720 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$720 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $7$ per $720$ .

$5040 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 26880 x^{5}]$ .

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Passaggio 4.3.1

Poiché $- 26880$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 26880 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 26880 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$5040 x^{6} - 26880 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5040 x^{6} - 26880 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $5$ per $- 26880$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + \frac{d}{d x} [307200 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Passaggio 4.4

Calcola $\frac{d}{d x} [307200 x^{3}]$ .

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Passaggio 4.4.1

Poiché $307200$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $307200 x^{3}$ rispetto a $x$ è $307200 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 307200 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Passaggio 4.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 307200 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica $3$ per $307200$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 921600 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 983040 x]$

Passaggio 4.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 983040 x]$ .

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Passaggio 4.5.1

Poiché $- 983040$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 983040 x$ rispetto a $x$ è $- 983040 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 921600 x^{2} - 983040 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 921600 x^{2} - 983040 \cdot 1$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $- 983040$ per $1$ .

$f^{4} (x) = 5040 x^{6} - 134400 x^{4} + 921600 x^{2} - 983040$