Calcolo Esempi

${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$ rispetto a $a$ è $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ è $f' (g (a)) g' (a)$ dove $f (a) = a^{4}$ e $g (a) = a + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $a + b$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $a + b$ .

$4 {(a + b)}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $a + b$ rispetto a $a$ è $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $b$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $b$ rispetto a $a$ è $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Passaggio 1.2.5

Somma $1$ e $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $- {(a - b)}^{4}$ rispetto a $a$ è $- \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ è $f' (g (a)) g' (a)$ dove $f (a) = a^{4}$ e $g (a) = a - b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [a - b])$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $a - b$ rispetto a $a$ è $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]))$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [- b]))$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- b$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $- b$ rispetto a $a$ è $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + 0))$

Passaggio 1.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3})$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $4$ da $4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Scomponi $4$ da $4 {(a + b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) - 4 {(a - b)}^{3}$

Passaggio 1.4.1.2

Scomponi $4$ da $- 4 {(a - b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$

Passaggio 1.4.1.3

Scomponi $4$ da $4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$ .

$4 ({(a + b)}^{3} - {(a - b)}^{3})$

Passaggio 1.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Usa il teorema binomiale.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - {(a - b)}^{3})$

Passaggio 1.4.2.2

Usa il teorema binomiale.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Passaggio 1.4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Passaggio 1.4.2.3.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Passaggio 1.4.2.3.3

Applica la regola del prodotto a $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + {(- b)}^{3}))$

Passaggio 1.4.2.3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Passaggio 1.4.2.3.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot 1 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Passaggio 1.4.2.3.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Passaggio 1.4.2.3.7

Applica la regola del prodotto a $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}))$

Passaggio 1.4.2.3.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}))$

Passaggio 1.4.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} - (- 3 a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Passaggio 1.4.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Passaggio 1.4.2.5.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) - - b^{3})$

Passaggio 1.4.2.5.3

Moltiplica $- - b^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + 1 b^{3})$

Passaggio 1.4.2.5.3.2

Moltiplica $b^{3}$ per $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + b^{3})$

Passaggio 1.4.2.6

Rimuovi le parentesi.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Passaggio 1.4.3

Combina i termini opposti in $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sottrai $a^{3}$ da $a^{3}$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 0 + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ e $0$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Passaggio 1.4.3.3

Sottrai $3 a b^{2}$ da $3 a b^{2}$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + 0 + b^{3})$

Passaggio 1.4.3.4

Somma $3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b$ e $0$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + b^{3})$

Passaggio 1.4.4

Somma $3 a^{2} b$ e $3 a^{2} b$ .

$4 (b^{3} + 6 a^{2} b + b^{3})$

Passaggio 1.4.5

Somma $b^{3}$ e $b^{3}$ .

$4 (2 b^{3} + 6 a^{2} b)$

Passaggio 1.4.6

Applica la proprietà distributiva.

$4 (2 b^{3}) + 4 (6 a^{2} b)$

Passaggio 1.4.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 b^{3} + 4 (6 a^{2} b)$

Passaggio 1.4.8

Moltiplica $6$ per $4$ .

$f' (a) = 8 b^{3} + 24 a^{2} b$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 b^{3} + 24 a^{2} b$ rispetto a $a$ è $\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

$\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $8 b^{3}$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $8 b^{3}$ rispetto a $a$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $24 b$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $24 a^{2} b$ rispetto a $a$ è $24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$0 + 24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 24 b (2 a)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $24$ .

$0 + 48 b a$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $0$ e $48 b a$ .

$48 b a$

Passaggio 2.3.2

Riordina i fattori di $48 b a$ .

$f'' (a) = 48 a b$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $48 b$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $48 a b$ rispetto a $a$ è $48 b \frac{d}{d a} [a]$ .

$48 b \frac{d}{d a} [a]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$48 b \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $48$ per $1$ .

$f''' (a) = 48 b$

Passaggio 4

Poiché $48 b$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $48 b$ rispetto a $a$ è $0$ .

$f^{4} (a) = 0$