Calcolo Esempi

${(x + 3)}^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 {(x + 3)}^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 3])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 3])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$4 (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$12 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$12 {(x + 3)}^{2} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi ${(x + 3)}^{2}$ come $(x + 3) (x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [12 ((x + 3) (x + 3))]$

Passaggio 3.2

Espandi $(x + 3) (x + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [12 (x (x + 3) + 3 (x + 3))]$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3))]$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3)]$

Passaggio 3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3)]$

Passaggio 3.3.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3)]$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 3 x + 3 x + 9)]$

Passaggio 3.3.2

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 6 x + 9)]$

Passaggio 3.4

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 (x^{2} + 6 x + 9)$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 6 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$12 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.7

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.9

Moltiplica $6$ per $1$ .

$12 (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 3.10

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 (2 x + 6 + 0)$

Passaggio 3.11

Somma $2 x + 6$ e $0$ .

$12 (2 x + 6)$

Passaggio 3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$12 (2 x) + 12 \cdot 6$

Passaggio 3.12.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.1

Moltiplica $2$ per $12$ .

$24 x + 12 \cdot 6$

Passaggio 3.12.2.2

Moltiplica $12$ per $6$ .

$f''' (x) = 24 x + 72$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $24 x + 72$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [72]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [72]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [72]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [72]$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $24$ per $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [72]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $72$ rispetto a $x$ è $0$ .

$24 + 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $24$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 24$