Calcolo Esempi

$x^{n}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = n$ .

$f' (x) = n x^{n - 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $n$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $n x^{n - 1}$ rispetto a $x$ è $n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$ .

$n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = n - 1$ .

$n ((n - 1) x^{n - 1 - 1})$

Passaggio 2.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.1

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$n ((n - 1) x^{n - 2})$

Passaggio 2.3.2

Riordina i fattori di $n ((n - 1) x^{n - 2})$ .

$f'' (x) = x^{n - 2} n (n - 1)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Poiché $n (n - 1)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{n - 2} n (n - 1)$ rispetto a $x$ è $n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$ .

$n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = n - 2$ .

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 2 - 1})$

Passaggio 3.3

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(n \cdot n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.2.1

Eleva $n$ alla potenza di $1$ .

$(n^{1} n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Passaggio 3.4.2.2

Eleva $n$ alla potenza di $1$ .

$(n^{1} n^{1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Passaggio 3.4.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(n^{1 + 1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Passaggio 3.4.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$(n^{2} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Passaggio 3.4.2.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $n$ .

$(n^{2} - 1 \cdot n) ((n - 2) x^{n - 3})$

Passaggio 3.4.2.6

Riscrivi $- 1 n$ come $- n$ .

$(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i fattori di $(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$ .

$f''' (x) = x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

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Passaggio 4.1

Poiché $(n - 2) (n^{2} - n)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$ rispetto a $x$ è $(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = n - 3$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 3 - 1})$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $1$ da $- 3$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$

Passaggio 4.3.2

Riordina i fattori di $(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$ .

$f^{4} (x) = x^{n - 4} (n - 2) (n - 3) (n^{2} - n)$