Calcolo Esempi

$\sin^{6} (5 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (5 x)$ .

$6 \sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x$ .

$6 \sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$6 \sin^{5} (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $5$ per $6$ .

$30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) \cdot 1$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $30$ per $1$ .

$f' (x) = 30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ rispetto a $x$ è $30 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ .

$30 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin^{5} (5 x)$ e $g (x) = \cos (5 x)$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 x$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Passaggio 2.4

Moltiplica $\sin^{5} (5 x)$ per $\sin (5 x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sposta $\sin (5 x)$ .

$30 (\sin (5 x) \sin^{5} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\sin (5 x)$ per $\sin^{5} (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Eleva $\sin (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$30 (\sin^{1} (5 x) \sin^{5} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Passaggio 2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$30 ({\sin (5 x)}^{1 + 5} (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Passaggio 2.4.3

Somma $1$ e $5$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- 5 \frac{d}{d x} [x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- 5 \cdot 1) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Passaggio 2.5.4.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $\sin^{6} (5 x)$ .

$30 (- 5 \cdot \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (5 x)$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (5 x)$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

Passaggio 2.7

Sposta $5$ alla sinistra di $\cos (5 x)$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cdot \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $5 x$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 2.8.2

La derivata di $\sin (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\cos (u_{3})$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 2.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $5 x$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 2.9

Eleva $\cos (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 (\cos^{1} (5 x) \cos (5 x)) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 2.10

Eleva $\cos (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 (\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x)) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 {\cos (5 x)}^{1 + 1} \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 2.12

Somma $1$ e $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 2.13

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.14

Moltiplica $5$ per $5$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \cdot 1)$

Passaggio 2.16

Moltiplica $25$ per $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

Passaggio 2.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x)) + 30 (25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

Passaggio 2.17.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.2.1

Moltiplica $- 5$ per $30$ .

$- 150 \sin^{6} (5 x) + 30 (25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

Passaggio 2.17.2.2

Moltiplica $25$ per $30$ .

$- 150 \sin^{6} (5 x) + 750 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x)$

Passaggio 2.17.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) - 150 \sin^{6} (5 x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) - 150 \sin^{6} (5 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $750$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ rispetto a $x$ è $750 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)]$ .

$750 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin^{4} (5 x)$ e $g (x) = \cos^{2} (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)] + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.4.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.8.2

La derivata di $\sin (u_{4})$ rispetto a $u_{4}$ è $\cos (u_{4})$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.9

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.11

Moltiplica $5$ per $1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.12

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- 5 \sin (5 x))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.13

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x) \sin (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.14

Moltiplica $\sin^{4} (5 x)$ per $\sin (5 x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.14.1

Sposta $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin (5 x) \sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.14.2

Moltiplica $\sin (5 x)$ per $\sin^{4} (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.14.2.1

Eleva $\sin (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$750 (\sin^{1} (5 x) \sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.14.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$750 ({\sin (5 x)}^{1 + 4} (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.14.3

Somma $1$ e $4$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.15

Moltiplica $5$ per $1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.16

Sposta $5$ alla sinistra di $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.17

Moltiplica $5$ per $4$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.18

Moltiplica $\cos^{2} (5 x)$ per $\cos (5 x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.18.1

Sposta $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos (5 x) \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.18.2

Moltiplica $\cos (5 x)$ per $\cos^{2} (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.18.2.1

Eleva $\cos (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.18.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + {\cos (5 x)}^{1 + 2} (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.18.3

Somma $1$ e $2$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{3} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.2.19

Sposta $20$ alla sinistra di $\cos^{3} (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 150$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 150 \sin^{6} (5 x)$ rispetto a $x$ è $- 150 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (5 x)]$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (5 x)]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{5}$ come $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{6}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ è $n {u_{5}}^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 {u_{5}}^{5} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{5}$ con $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{6}$ come $5 x$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\sin (u_{6})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 3.3.3.2

La derivata di $\sin (u_{6})$ rispetto a $u_{6}$ è $\cos (u_{6})$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (u_{6}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{6}$ con $5 x$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 3.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))$

Passaggio 3.3.7

Sposta $5$ alla sinistra di $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $5$ per $6$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x))$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $30$ per $- 150$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x))) + 750 (20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $- 10$ per $750$ .

$- 7500 (\sin^{5} (5 x) (\cos (5 x))) + 750 (20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $20$ per $750$ .

$- 7500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 (\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Passaggio 3.4.2.3

Sottrai $4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ da $- 7500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ .

$f''' (x) = - 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 12000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ rispetto a $x$ è $- 12000 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ .

$- 12000 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.2

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.3.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.7.2

La derivata di $\sin (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\cos (u_{3})$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.8

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.10

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.11

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.12

Moltiplica $\sin^{5} (5 x)$ per $\sin (5 x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.12.1

Sposta $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (\sin (5 x) \sin^{5} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.12.2

Moltiplica $\sin (5 x)$ per $\sin^{5} (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.12.2.1

Eleva $\sin (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$- 12000 (\sin^{1} (5 x) \sin^{5} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.12.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 12000 ({\sin (5 x)}^{1 + 5} \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.12.3

Somma $1$ e $5$ .

$- 12000 (\sin^{6} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.13

Sposta $- 5$ alla sinistra di $\sin^{6} (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \cdot \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.14

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.15

Sposta $5$ alla sinistra di $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.16

Moltiplica $5$ per $5$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (25 \sin^{4} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.17

Eleva $\cos (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.18

Eleva $\cos (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.19

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) {\cos (5 x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.2.20

Somma $1$ e $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $15000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$ rispetto a $x$ è $15000 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos^{3} (5 x)$ e $g (x) = \sin^{3} (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)] + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ è $n {u_{4}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{5}$ come $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{5}} [\sin (u_{5})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Passaggio 4.3.4.2

La derivata di $\sin (u_{5})$ rispetto a $u_{5}$ è $\cos (u_{5})$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (u_{5}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Passaggio 4.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{5}$ con $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Passaggio 4.3.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Passaggio 4.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Passaggio 4.3.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{6}$ come $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

Passaggio 4.3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{n}]$ è $n {u_{6}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 {u_{6}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

Passaggio 4.3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{6}$ con $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

Passaggio 4.3.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{7}$ come $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{7}} [\cos (u_{7})] \frac{d}{d x} [5 x])))$

Passaggio 4.3.8.2

La derivata di $\cos (u_{7})$ rispetto a $u_{7}$ è $- \sin (u_{7})$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (u_{7}) \frac{d}{d x} [5 x])))$

Passaggio 4.3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{7}$ con $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])))$

Passaggio 4.3.9

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))))$

Passaggio 4.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.11

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.12

Sposta $5$ alla sinistra di $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.13

Moltiplica $5$ per $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.14

Moltiplica $\cos^{3} (5 x)$ per $\cos (5 x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.14.1

Sposta $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos (5 x) \cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.14.2

Moltiplica $\cos (5 x)$ per $\cos^{3} (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.14.2.1

Eleva $\cos (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{1} (5 x) \cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.14.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 ({\cos (5 x)}^{1 + 3} (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.14.3

Somma $1$ e $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{4} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.15

Sposta $15$ alla sinistra di $\cos^{4} (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cdot \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Passaggio 4.3.16

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5)))$

Passaggio 4.3.17

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- 5 \sin (5 x))))$

Passaggio 4.3.18

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)))$

Passaggio 4.3.19

Moltiplica $\sin^{3} (5 x)$ per $\sin (5 x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.19.1

Sposta $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin (5 x) \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Passaggio 4.3.19.2

Moltiplica $\sin (5 x)$ per $\sin^{3} (5 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.19.2.1

Eleva $\sin (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{1} (5 x) \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Passaggio 4.3.19.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + {\sin (5 x)}^{1 + 3} (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Passaggio 4.3.19.3

Somma $1$ e $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x)) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Passaggio 4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x)) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Passaggio 4.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Moltiplica $- 5$ per $- 12000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Passaggio 4.4.3.2

Moltiplica $25$ per $- 12000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 (\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Passaggio 4.4.3.3

Moltiplica $15$ per $15000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 (\cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Passaggio 4.4.3.4

Moltiplica $- 15$ per $15000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) - 225000 (\sin^{4} (5 x) (\cos^{2} (5 x)))$

Passaggio 4.4.3.5

Sottrai $225000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ da $- 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 525000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)$

Passaggio 4.4.4

Riordina i termini.

$f^{4} (x) = - 525000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + 60000 \sin^{6} (5 x)$