Calcolo Esempi

$lim_{x \to 9} \frac{1}{x - 9} - \frac{1}{\ln (x - 8)}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per scrivere $\frac{1}{x - 9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{x - 9} \cdot \frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)} - \frac{1}{\ln (x - 8)}$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- \frac{1}{\ln (x - 8)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 9}{x - 9}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{x - 9} \cdot \frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)} - \frac{1}{\ln (x - 8)} \cdot \frac{x - 9}{x - 9}$

Passaggio 1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - 9) \ln (x - 8)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x - 9}$ per $\frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8)}{(x - 9) \ln (x - 8)} - \frac{1}{\ln (x - 8)} \cdot \frac{x - 9}{x - 9}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\ln (x - 8)}$ per $\frac{x - 9}{x - 9}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8)}{(x - 9) \ln (x - 8)} - \frac{x - 9}{\ln (x - 8) (x - 9)}$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di $(x - 9) \ln (x - 8)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8) (x - 9)} - \frac{x - 9}{\ln (x - 8) (x - 9)}$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8) - (x - 9)}{\ln (x - 8) (x - 9)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) - (x - 9)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite inserendo $9$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite di $\ln (x - 8) - (x - 9)$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{\ln (9 - 8) - (9 - 9)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Sottrai $8$ da $9$ .

$\frac{\ln (1) - (9 - 9)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0 - (9 - 9)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Passaggio 2.1.2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Passaggio 2.1.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 2.1.3.2

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 2.1.3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 2.1.3.4

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Passaggio 2.1.3.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9)}$

Passaggio 2.1.3.6

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9)}$

Passaggio 2.1.3.7

Calcola il limite inserendo $9$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{0}{\ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9)}$

Passaggio 2.1.3.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{0}{\ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Passaggio 2.1.3.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{0}{\ln (9 - 8) \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Passaggio 2.1.3.8.2

Sottrai $8$ da $9$ .

$\frac{0}{\ln (1) \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Passaggio 2.1.3.8.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Passaggio 2.1.3.8.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{0}{0 \cdot (9 - 9)}$

Passaggio 2.1.3.8.5

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Passaggio 2.1.3.8.6

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.8.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.9

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8) - (x - 9)}{\ln (x - 8) (x - 9)} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) - (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) - (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (x - 8) - (x - 9)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (x - 8)] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8)] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.3.4

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.3.6

Moltiplica $\frac{1}{x - 8}$ per $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- (x - 9)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x - 9)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x - 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - \frac{d}{d x} [x - 9]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.4.4

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.4.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - 1 \cdot \frac{x - 8}{x - 8}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.5.2

$- 1$ e $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} + \frac{- (x - 8)}{x - 8}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \ln (x - 8)$ e $g (x) = x - 9$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) \frac{d}{d x} [x - 9] + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Passaggio 2.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Passaggio 2.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Passaggio 2.3.9

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Passaggio 2.3.10

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) \cdot 1 + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Passaggio 2.3.11

Moltiplica $\ln (x - 8)$ per $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Passaggio 2.3.12

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Passaggio 2.3.12.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Passaggio 2.3.12.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) (\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Passaggio 2.3.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}$

Passaggio 2.3.14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}$

Passaggio 2.3.15

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} (1 + 0)}$

Passaggio 2.3.16

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} \cdot 1}$

Passaggio 2.3.17

Moltiplica $x - 9$ per $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8}}$

Passaggio 2.3.18

Riordina i termini.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{(x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8)}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{x - 8} \cdot \frac{1}{(x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8)}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}$ per $\frac{1}{(x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8)}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{(x - 8) ((x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8))}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $x - 9$ per $\frac{1}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{(x - 8) (\frac{x - 9}{x - 8} + \ln (x - 8))}$

Passaggio 2.7

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Per scrivere $\ln (x - 8)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{(x - 8) (\frac{x - 9}{x - 8} + \frac{\ln (x - 8) (x - 8)}{x - 8})}$

Passaggio 2.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{(x - 8) \frac{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}{x - 8}}$

Passaggio 3

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $x - 8$ per $\frac{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{\frac{(x - 8) (x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8))}{x - 8}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{\frac{(x - 8) (x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8))}{x - 8}}$

Passaggio 3.2.2

Dividi $x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)$ per $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 9} 1 - (x - 8)}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite inserendo $9$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Calcola il limite di $1 - (x - 8)$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{1 - (9 - 8)}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $8$ da $9$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Passaggio 4.1.2.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 8)}$

Passaggio 4.1.3.2

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 8)}$

Passaggio 4.1.3.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Passaggio 4.1.3.4

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Passaggio 4.1.3.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Passaggio 4.1.3.6

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Passaggio 4.1.3.7

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8)}$

Passaggio 4.1.3.8

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Passaggio 4.1.3.9

Calcola il limite inserendo $9$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.9.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Passaggio 4.1.3.9.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9 + \ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Passaggio 4.1.3.9.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9 + \ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Passaggio 4.1.3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.10.1.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{0}{9 - 9 + \ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Passaggio 4.1.3.10.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{0}{9 - 9 + \ln (9 - 8) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Passaggio 4.1.3.10.1.3

Sottrai $8$ da $9$ .

$\frac{0}{9 - 9 + \ln (1) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Passaggio 4.1.3.10.1.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0 \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Passaggio 4.1.3.10.1.5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0 \cdot (9 - 8)}$

Passaggio 4.1.3.10.1.6

Sottrai $8$ da $9$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3.10.1.7

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0}$

Passaggio 4.1.3.10.2

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 4.1.3.10.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.3.10.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.3.11

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.2

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - (x - 8)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (x - 8)]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- (x - 8)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x - 8)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x - 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x - 8]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.4.4

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.4.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.5

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.8

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.9.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \ln (x - 8)$ e $g (x) = x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.9.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.9.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.9.4

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Passaggio 4.3.9.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.9.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Passaggio 4.3.9.5.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Passaggio 4.3.9.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Passaggio 4.3.9.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]))}$

Passaggio 4.3.9.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]))}$

Passaggio 4.3.9.8

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + 0))}$

Passaggio 4.3.9.9

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) \cdot 1 + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + 0))}$

Passaggio 4.3.9.10

Moltiplica $\ln (x - 8)$ per $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + 0))}$

Passaggio 4.3.9.11

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} \cdot 1)}$

Passaggio 4.3.9.12

Moltiplica $\frac{1}{x - 8}$ per $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) + (x - 8) \frac{1}{x - 8}}$

Passaggio 4.3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + \ln (x - 8) + (x - 8) \frac{1}{x - 8}}$

Passaggio 4.3.10.2

Riordina i termini.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{(x - 8) \frac{1}{x - 8} + 1 + \ln (x - 8)}$

Passaggio 4.3.10.3

Elimina il fattore comune di $x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.10.3.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{(x - 8) \frac{1}{x - 8} + 1 + \ln (x - 8)}$

Passaggio 4.3.10.3.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 1 + \ln (x - 8)}$

Passaggio 4.3.10.4

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{2 + \ln (x - 8)}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} - 1}{lim_{x \to 9} 2 + \ln (x - 8)}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $- 1$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{- 1}{lim_{x \to 9} 2 + \ln (x - 8)}$

Passaggio 5.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{- 1}{lim_{x \to 9} 2 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8)}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{- 1}{2 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8)}$

Passaggio 5.5

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{- 1}{2 + \ln (lim_{x \to 9} x - 8)}$

Passaggio 5.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8)}$

Passaggio 5.7

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (9 - 1 \cdot 8)}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (9 - 8)}$

Passaggio 7.1.2

Sottrai $8$ da $9$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (1)}$

Passaggio 7.1.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 0}$

Passaggio 7.1.4

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$- 0.5$