Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{\ln (\cos (3 x))}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Passaggio 1.2.3.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \cos (3 x))}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{\ln (\cos (lim_{x \to 0} 3 x))}$

Passaggio 1.3.1.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (3 lim_{x \to 0} x))}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (3 \cdot 0))}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (0))}$

Passaggio 1.3.3.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Passaggio 1.3.3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{\ln (\cos (3 x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Passaggio 3.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 3.5.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 3.6.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ e $\sin (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Passaggio 3.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.9

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- 3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.10

$- 3$ e $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{- 3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot 1}$

Passaggio 3.13

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)})$

Passaggio 5

Combina i fattori.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (3 \sin (3 x))}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (\sin (3 x))}$

Passaggio 7

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 7.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Passaggio 7.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 7.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Passaggio 7.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Passaggio 7.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Passaggio 7.1.2.4

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Passaggio 7.1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Passaggio 7.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Passaggio 7.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.6.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Passaggio 7.1.2.6.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Passaggio 7.1.2.6.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Passaggio 7.1.2.6.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Passaggio 7.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 7.1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Passaggio 7.1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Passaggio 7.1.3.4

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 7.1.3.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 7.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 7.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.6.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 7.1.3.6.2

Moltiplica $\sin (3 \cdot 0)$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 7.1.3.6.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 7.1.3.6.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 7.1.3.6.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 7.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 7.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (\sin (3 x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Passaggio 7.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Passaggio 7.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Passaggio 7.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Passaggio 7.3.3.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Passaggio 7.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Passaggio 7.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Passaggio 7.3.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Passaggio 7.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Passaggio 7.3.7

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Passaggio 7.3.8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Passaggio 7.3.9

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Passaggio 7.3.10

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 7.3.11

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.11.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 7.3.11.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 7.3.11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 7.3.12

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 7.3.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 7.3.14

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 7.3.15

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (x) \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cdot \cos (x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 7.3.16

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cos (x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (x)}$

Passaggio 7.3.17

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 3 \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.4

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.7

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.8

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.11

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.12

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.13

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.14

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.15

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.16

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.17

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Passaggio 8.18

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

Passaggio 8.19

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

Passaggio 8.20

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

Passaggio 8.21

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

Passaggio 9

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9.6

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9.7

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9.8

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 0 + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.1.5

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.1.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 1 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.1.7

Moltiplica $\cos (3 \cdot 0)$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.1.8

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.1.9

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 1}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.1.10

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1 \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot \cos (0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1 - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.2.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.2.6

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 - 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.2.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Passaggio 10.2.8

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot \sin (0)}$

Passaggio 10.2.9

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot 0}$

Passaggio 10.2.10

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0}$

Passaggio 10.2.11

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{1}{9}$