Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} {\sin (x)}^{x}$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${\sin (x)}^{x}$ come $e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({\sin (x)}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\sin (x))}$

Passaggio 2

Imposta il limite come un limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\sin (x))}$

Passaggio 3

Calcola i limiti inserendo il valore al posto della variabile.

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $e^{x \ln (\sin (x))}$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{0 \ln (\sin (0))}$

Passaggio 3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$e^{0 \ln (0)}$

Passaggio 3.3

Poiché $e^{0 \ln (0)}$ è indefinito, il limite non esiste.

$Non esiste$

Passaggio 4

Imposta il limite come un limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sin (x))}$

Passaggio 5

Risolvi il limite destro.

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Passaggio 5.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sin (x))}$

Passaggio 5.2

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $x \ln (\sin (x))$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & x \ln (\sin (x)) \\ 0.1 & - 0.23042523 \\ 0.01 & - 0.04605186 \\ 0.001 & - 0.00690775 \\ 0.0001 & - 0.00092103 \\ 0.00001 & - 0.00011512 \\ 0.000001 & - 0.00001381 \end{array}$

Passaggio 5.3

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0$ . Di conseguenza, il limite di $x \ln (\sin (x))$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $0$ .

$e^{0}$

Passaggio 5.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1$

Passaggio 6

Se uno dei due limiti unilateri non esiste, il limite non esiste.

$Non esiste$