Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (π x)}{\ln (1 + x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (π x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} π x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\tan (π lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\tan (π \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Passaggio 1.2.3.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + x)}$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.3.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 + lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0)}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Passaggio 1.3.3.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (π x)}{\ln (1 + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (π x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (π x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Passaggio 3.3

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) (π \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $π$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) π}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Passaggio 3.6

Riordina i fattori di $\sec^{2} (π x) π$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + x$ .

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Passaggio 3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Passaggio 3.7.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Passaggio 3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}$

Passaggio 3.12

Moltiplica $\frac{1}{1 + x}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x}}$

Passaggio 3.13

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{x + 1}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} π \sec^{2} (π x) (x + 1)$

Passaggio 5

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$π lim_{x \to 0} \sec^{2} (π x) (x + 1)$

Passaggio 6

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$π lim_{x \to 0} \sec^{2} (π x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Passaggio 7

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (π x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$π {(lim_{x \to 0} \sec (π x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Passaggio 8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$π \sec^{2} (lim_{x \to 0} π x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Passaggio 9

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Passaggio 10

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)$

Passaggio 11

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} x + 1)$

Passaggio 12

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$π \sec^{2} (π \cdot 0) \cdot (lim_{x \to 0} x + 1)$

Passaggio 12.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$π \sec^{2} (π \cdot 0) \cdot (0 + 1)$

Passaggio 13

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$π \sec^{2} (0) \cdot (0 + 1)$

Passaggio 13.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$π \cdot 1^{2} \cdot (0 + 1)$

Passaggio 13.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$π \cdot 1 \cdot (0 + 1)$

Passaggio 13.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π \cdot (0 + 1)$

Passaggio 13.5

Somma $0$ e $1$ .

$π \cdot 1$

Passaggio 13.6

Moltiplica $π$ per $1$ .

$π$