Calcolo Esempi

$\int \frac{e^{- 0.04 x}}{7 - e^{- 0.04 x}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = 7 - e^{- 0.04 x}$ . Allora $d u_{2} = 0.04 e^{- 0.04 x} d x$ , quindi $\frac{1}{0.04} d u_{2} = e^{- 0.04 x} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = 7 - e^{- 0.04 x}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $7 - e^{- 0.04 x}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - e^{- 0.04 x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - e^{- 0.04 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.04 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.04 x}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.04 x}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{- 0.04 x}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- 0.04 x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- 0.04 x}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [e^{- 0.04 x}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 0.04 x$ .

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Passaggio 1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- 0.04 x$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 0.04 x])$

Passaggio 1.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 - (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 0.04 x])$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 0.04 x$ .

$0 - (e^{- 0.04 x} \frac{d}{d x} [- 0.04 x])$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $- 0.04$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.04 x$ rispetto a $x$ è $- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (e^{- 0.04 x} (- 0.04 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - (e^{- 0.04 x} (- 0.04 \cdot 1))$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $- 0.04$ per $1$ .

$0 - (e^{- 0.04 x} \cdot - 0.04)$

Passaggio 1.1.3.6

Sposta $- 0.04$ alla sinistra di $e^{- 0.04 x}$ .

$0 - (- 0.04 \cdot e^{- 0.04 x})$

Passaggio 1.1.3.7

Moltiplica $- 0.04$ per $- 1$ .

$0 + 0.04 e^{- 0.04 x}$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $0.04 e^{- 0.04 x}$ .

$0.04 e^{- 0.04 x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{0.04} d u_{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{0.04}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 0.04} d u_{2}$

Passaggio 2.2

Sposta $0.04$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{0.04 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{0.04}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{0.04}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{0.04} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{0.04} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 5

Riscrivi $\frac{1}{0.04} (\ln (| u_{2} |) + C)$ come $25 \ln (| u_{2} |) + C$ .

$25 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $7 - e^{- 0.04 x}$ .

$25 \ln (| 7 - e^{- 0.04 x} |) + C$