Calcolo Esempi

$\int \frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 2} d x$

Passaggio 1

Riscrivi ${(x + 3)}^{2}$ come $(x + 3) (x + 3)$ .

$\int \frac{(x + 3) (x + 3)}{x + 2} d x$

Passaggio 2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{x (x + 3) + 3 (x + 3)}{x + 2} d x$

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)}{x + 2} d x$

Passaggio 4

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Passaggio 5

Riordina $x$ e $3$ .

$\int \frac{x \cdot x + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Passaggio 6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{x^{1} x + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Passaggio 7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{x^{1} x^{1} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Passaggio 8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{x^{1 + 1} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Passaggio 9.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 3 x + 9}{x + 2} d x$

Passaggio 10

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$\int \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 2} d x$

Passaggio 11

Dividi $x^{2} + 6 x + 9$ per $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$6 x$

$9$

Passaggio 11.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$

Passaggio 11.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 11.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 2 x$

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 11.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$

Passaggio 11.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$

Passaggio 11.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$

Passaggio 11.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					+	$4 x$	+	$8$

Passaggio 11.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x + 8$

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					-	$4 x$	-	$8$

Passaggio 11.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					-	$4 x$	-	$8$
							+	$1$

Passaggio 11.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int x + 4 + \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 12

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 13

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 4 d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 14

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 15

Sia $u = x + 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sia $u = x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 15.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 15.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 15.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 15.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 15.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 16

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \ln (| u |) + C$

Passaggio 17

Semplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| u |) + C$

Passaggio 18

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| x + 2 |) + C$