Calcolo Esempi

$\int {(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2}$ come $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ .

$\int (\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.2

Espandi $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sqrt{a} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $\sqrt{a} \sqrt{a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{a}$ alla potenza di $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{a}$ alla potenza di $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\sqrt{a}}^{1 + 1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{a}}^{2}$ come $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{a}$ come $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int a^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.2.5

Semplifica.

$\int a + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\int a - \sqrt{a} \sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1.3.1.6

Moltiplica $- \sqrt{x} (- \sqrt{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + 1 \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Passaggio 1.3.1.6.2

Moltiplica $\sqrt{x}$ per $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Passaggio 1.3.1.6.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} d x$

Passaggio 1.3.1.6.4

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} d x$

Passaggio 1.3.1.6.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1} d x$

Passaggio 1.3.1.6.6

Somma $1$ e $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{2} d x$

Passaggio 1.3.1.7

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Passaggio 1.3.1.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Passaggio 1.3.1.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

Passaggio 1.3.1.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

Passaggio 1.3.1.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{1} d x$

Passaggio 1.3.1.7.5

Semplifica.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x d x$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $\sqrt{a x}$ da $- \sqrt{x a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Riordina $x$ e $a$ .

$\int a - \sqrt{a x} - \sqrt{a x} + x d x$

Passaggio 1.3.2.2

Sottrai $\sqrt{a x}$ da $- \sqrt{a x}$ .

$\int a - 2 \sqrt{a x} + x d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int a d x + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$a x + C + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Passaggio 4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$a x + C - 2 \int \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Passaggio 5

Sia $u = a x$ . Allora $d u = a d x$ , quindi $\frac{1}{a} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = a x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $a x$ .

$\frac{d}{d x} [a x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$a \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $a$ per $1$ .

$a$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$a x + C - 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{a} d u + \int x d x$

Passaggio 6

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{a}$ .

$a x + C - 2 \int \frac{\sqrt{u}}{a} d u + \int x d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{a}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{a}$ fuori dall'integrale.

$a x + C - 2 (\frac{1}{a} \int \sqrt{u} d u) + \int x d x$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$\frac{1}{a}$ e $- 2$ .

$a x + C + \frac{- 2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

Passaggio 8.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$a x + C - \frac{2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

Passaggio 8.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int x d x$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int x d x$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$a x - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $a x$ .

$a x - \frac{4 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$