Calcolo Esempi

$\int {(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\int \sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}} d x$

Passaggio 2

Sia $x = 4 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 4 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ è positivo.

$\int \sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.3

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$\int \sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $16$ da $16$ .

$\int \sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $16$ da $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $16$ da $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.6

Applica la regola del prodotto a $16 \cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.7

Eleva $16$ alla potenza di $3$ .

$\int \sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.8

Moltiplica gli esponenti in ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.8.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int \sqrt{4096 \cos^{6} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.9

Riscrivi $4096 \cos^{6} (t)$ come ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int 64 \cos^{3} (t) (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica $4$ per $64$ .

$\int 256 \cos^{3} (t) \cos (t) d t$

Passaggio 3.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 256 (\cos^{1} (t) \cos^{3} (t)) d t$

Passaggio 3.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 256 {\cos (t)}^{1 + 3} d t$

Passaggio 3.2.4

Somma $1$ e $3$ .

$\int 256 \cos^{4} (t) d t$

Passaggio 4

Poiché $256$ è costante rispetto a $t$ , sposta $256$ fuori dall'integrale.

$256 \int \cos^{4} (t) d t$

Passaggio 5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$256 \int {\cos (t)}^{2 (2)} d t$

Passaggio 5.2

Riscrivi ${\cos (t)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$256 \int {(\cos^{2} (t))}^{2} d t$

Passaggio 6

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$256 \int {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

Passaggio 7

Sia $u_{1} = 2 t$ . Allora $d u_{1} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{1} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$256 \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$256 (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

Passaggio 9

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

$\frac{1}{2}$ e $256$ .

$\frac{256}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 9.1.2

Elimina il fattore comune di $256$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Scomponi $2$ da $256$ .

$\frac{2 \cdot 128}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 9.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 9.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 9.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{128}{1} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 9.1.2.2.4

Dividi $128$ per $1$ .

$128 \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 9.2

Riscrivi $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ come un prodotto.

$128 \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Passaggio 9.3

Espandi ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Passaggio 9.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$128 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Passaggio 9.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$128 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.3.7

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$128 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.3.8

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$128 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.3.9

Sposta $\frac{1}{2}$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.3.10

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.3.11

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.3.12

Sposta $\cos (u_{1})$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.3.13

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Passaggio 9.3.14

Moltiplica $1$ per $1$ .

$128 \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.15

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$128 \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.16

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.17

Moltiplica $2$ per $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.18

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.19

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.20

Moltiplica $2$ per $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.21

$\frac{1}{4}$ e $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.22

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.23

$\frac{1}{2}$ e $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.24

Moltiplica $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.25

Moltiplica $2$ per $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.26

$\frac{1}{2}$ e $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.27

Moltiplica $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.28

Moltiplica $2$ per $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3.29

$\frac{\cos (u_{1})}{4}$ e $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 9.3.30

Eleva $\cos (u_{1})$ alla potenza di $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 9.3.31

Eleva $\cos (u_{1})$ alla potenza di $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 9.3.32

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Passaggio 9.3.33

Somma $1$ e $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 9.3.34

Somma $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ e $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 9.3.35

$2$ e $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 9.3.36

Riordina $\frac{2 \cos (u_{1})}{4}$ e $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 9.3.37

Riordina $\frac{1}{4}$ e $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Passaggio 9.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Scomponi $2$ da $2 \cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Passaggio 9.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Passaggio 9.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Passaggio 9.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$128 (\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$128 (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 12

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$128 (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$128 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$128 (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 14.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$128 (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 15

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$128 (\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 16

Applica la regola costante.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 17

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 17.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 17.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 17.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 17.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 18

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 19

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 20

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 21

Applica la regola costante.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{1}{4} u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 22

$\frac{1}{4}$ e $u_{1}$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Passaggio 23

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 24

L'integrale di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sin (u_{1})$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C))$

Passaggio 25

Semplifica.

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Passaggio 25.1

Semplifica.

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{u_{1}}{4} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Passaggio 25.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.2.1

Per scrivere $\frac{u_{1}}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Passaggio 25.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 25.2.2.1

Moltiplica $\frac{u_{1}}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Passaggio 25.2.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Passaggio 25.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$128 (\frac{u_{1} + u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Passaggio 25.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$128 (\frac{u_{1} + 2 \cdot u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Passaggio 25.2.5

Somma $u_{1}$ e $2 u_{1}$ .

$128 (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Passaggio 26

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 26.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 t$ .

$128 (\frac{3 (2 t)}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

Passaggio 26.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$128 (\frac{3 (2 t)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

Passaggio 26.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Passaggio 26.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 t$ .

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 (2 t))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Passaggio 26.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Passaggio 27

Semplifica.

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Passaggio 27.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

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Passaggio 27.1.1.1

Scomponi $2$ da $3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))$ .

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{8} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Passaggio 27.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 27.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Passaggio 27.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Passaggio 27.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$128 (\frac{3 (\arcsin (\frac{x}{4}))}{4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Passaggio 27.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$128 (\frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Passaggio 27.2

Applica la proprietà distributiva.

$128 \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Passaggio 27.3

Semplifica.

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Passaggio 27.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 27.3.1.1

Scomponi $4$ da $128$ .

$4 (32) \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Passaggio 27.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 32 \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Passaggio 27.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$32 (3 \arcsin (\frac{x}{4})) + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Passaggio 27.3.2

Moltiplica $3$ per $32$ .

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Passaggio 27.3.3

Elimina il fattore comune di $16$ .

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Passaggio 27.3.3.1

Scomponi $16$ da $128$ .

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 16 (8) \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Passaggio 27.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 16 \cdot 8 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Passaggio 27.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Passaggio 27.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 27.3.4.1

Scomponi $2$ da $128$ .

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 2 (64) \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Passaggio 27.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 2 \cdot 64 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Passaggio 27.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 64 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Passaggio 28

Riordina i termini.

$96 \arcsin (\frac{1}{4} x) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + 64 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$