Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{2 y} - \frac{2}{y^{2}} + \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{2 y} d y + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - \int \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y) + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 6.2

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 6.3

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{- 2} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 8

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Passaggio 9

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Passaggio 9.2

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Passaggio 9.3

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Passaggio 9.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Passaggio 9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 (2 y^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica.

$\frac{\ln (| y |)}{2} + \frac{2}{y} + 3 (2 y^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 11.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\ln (| y |)}{2} + \frac{2}{y} + 6 y^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 11.2.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \ln (| y |) + \frac{2}{y} + 6 y^{\frac{1}{2}} + C$