Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{3 y} - \frac{5}{\sqrt{y}} + e^{\frac{- y}{2}} d y$

Passaggio 1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{3 y} - \frac{5}{\sqrt{y}} + e^{- \frac{y}{2}} d y$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{3 y} d y + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - \int \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Passaggio 6

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - (5 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y) + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Passaggio 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Passaggio 7.3

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Passaggio 7.4

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Passaggio 7.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Passaggio 7.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{- \frac{1}{2}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Passaggio 9

Sia $u = - \frac{y}{2}$ . Allora $d u = - \frac{1}{2} d y$ , quindi $- 2 d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u = - \frac{y}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $- \frac{y}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- \frac{y}{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 10.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Passaggio 10.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \cdot 2 d u$

Passaggio 10.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - 2 e^{u} d u$

Passaggio 11

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int e^{u} d u$

Passaggio 12

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (e^{u} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{\ln (| y |)}{3} - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{u} + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{y}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |)}{3} - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- \frac{y}{2}} + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} \ln (| y |) - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- \frac{1}{2} y} + C$