Calcolo Esempi

$\int \frac{4}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} - \sqrt{x} + 8 x^{3} - e^{x} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 5.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{- 2} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - \int \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 11

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 13

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 14

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 \int x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Passaggio 15

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - e^{x} d x$

Passaggio 16

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - e^{x} d x$

Passaggio 17

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int e^{x} d x$

Passaggio 18

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (e^{x} + C)$

Passaggio 19

Semplifica.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \ln (| x |) - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{4} - e^{x} + C$

Passaggio 20

Riordina i termini.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \ln (| x |) - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{4} - e^{x} + C$