Calcolo Esempi

$\int \frac{\sqrt{5 x}}{5} + \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{\sqrt{5 x}}{5} d x + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} \int \sqrt{5 x} d x + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = 5 x$ . Allora $d u_{1} = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = 5 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{5} \int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Passaggio 4

$\sqrt{u_{1}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{5} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 5} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{1}{25} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Passaggio 6.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{25} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Passaggio 8

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{5 x}} d x$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = 5 x$ . Allora $d u_{2} = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = 5 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{5} d u_{2}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 5} d u_{2}$

Passaggio 10.2

Sposta $5$ alla sinistra di $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{5 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

$\frac{1}{5}$ e $5$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{5}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Passaggio 12.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{5}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Passaggio 12.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 1 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Passaggio 12.1.3

Moltiplica $\int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Passaggio 12.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 12.2.2

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 12.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 12.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 12.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 13

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica.

$\frac{1}{25} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 14.2

Semplifica.

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Passaggio 14.2.1

Moltiplica $\frac{1}{25}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{25 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 14.2.2

Moltiplica $25$ per $3$ .

$\frac{2}{75} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x$ .

$\frac{2}{75} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{2}{75} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}} + C$