Calcolo Esempi

$\int (1 - \cos (\frac{x}{2})) \sin (\frac{x}{2}) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , quindi $2 d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Passaggio 2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $(1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1})$ .

$\int 2 (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int - 1 + u_{2} d u_{2}$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\int - 1 d u_{2} + \int u_{2} d u_{2})$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$2 (- u_{2} + C + \int u_{2} d u_{2})$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (- u_{2} + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{2}$ e ${u_{2}}^{2}$ .

$2 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

Passaggio 8.2

Semplifica.

$2 (- u_{2} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Passaggio 9

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 9.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (u_{1})$ .

$2 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cos^{2} (u_{1})) + C$

Passaggio 9.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \cos^{2} (\frac{x}{2})) + C$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

$\frac{1}{2}$ e $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) + \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2}) + C$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (- \cos (\frac{x}{2})) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Passaggio 10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Passaggio 10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$- 2 \cos (\frac{1}{2} x) + \cos^{2} (\frac{1}{2} x) + C$