Calcolo Esempi

$\int 2 e^{2 y} - 2 e^{- 2 y} d y$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 e^{2 y} d y + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int e^{2 y} d y + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = 2 y$ . Allora $d u_{1} = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = 2 y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Passaggio 4

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\int e^{u_{1}} d u_{1}$ per $1$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Passaggio 8

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{- 2 y} d y$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = - 2 y$ . Allora $d u_{2} = - 2 d y$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = d y$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = - 2 y$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 10.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{u_{1}} + C - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{u_{1}} + C - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Passaggio 12

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$e^{u_{1}} + C + 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{u_{1}} + C + 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$e^{u_{1}} + C + \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{u_{1}} + C + \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{u_{1}} + C + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14.3

Moltiplica $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$e^{u_{1}} + C + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 15

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{1}} + C + e^{u_{2}} + C$

Passaggio 16

Semplifica.

$e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C$

Passaggio 17

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 y$ .

$e^{2 y} + e^{u_{2}} + C$

Passaggio 17.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 2 y$ .

$e^{2 y} + e^{- 2 y} + C$