Calcolo Esempi

$\int (2 x + 3) \sqrt{2 x - 1} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = 2 x + 3$ e $d v = \sqrt{2 x - 1}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{3}$ e ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{3}$ e ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 2 d x$

Passaggio 2.3

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $2$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} d x$

Passaggio 2.4

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 4

Sia $u = 2 x - 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5

$u^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{3}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

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Passaggio 7.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 (1)}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 7.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 7.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ come $\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Per scrivere ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 9.2.2

${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 9.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 9.2.4

Sposta $3$ alla sinistra di ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 9.2.5

$\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Passaggio 9.2.6

Moltiplica $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Passaggio 9.2.7

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 1$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} (x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C$