Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 4}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 4$ e $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 5 x - 4) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 5 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x (3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + 5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + 5 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + 5 + 0) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Somma $6 x + 5$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4)}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x (6 x) + x \cdot 5 - (3 x^{2} + 5 x - 4)}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x (6 x) + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) + 4}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = \frac{6 x \cdot x + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) + 4}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{6 (x \cdot x) + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) + 4}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2} + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) + 4}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2} + 5 \cdot x - (3 x^{2}) - (5 x) + 4}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - (5 x) + 4}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Combina i termini opposti in $6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $5 x$ da $5 x$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2} - 3 x^{2} + 0 + 4}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Somma $6 x^{2} - 3 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{2} - 3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3

Sottrai $3 x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 4) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 4) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 4) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (6 x + \frac{d}{d x} (4)) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (6 x + 0) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.2.7

Somma $6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (6 x) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Sposta $6$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 \cdot x^{3} - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - (3 x^{2} + 4) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} + (- 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 4) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{2}) x - 2 \cdot (4 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot (4 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot (4 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 \cdot (4 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot (4 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.1.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 6 x^{3} - 2 \cdot (4 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{3} - 6 x^{3} - 8 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.2

Sottrai $6 x^{3}$ da $6 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 8 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3.3

Sottrai $8 x$ da $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1.1

Scomponi $x$ da $- 8 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 8}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.4.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.7.4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.7.4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{- 8}{x^{3}}$

Passaggio 2.7.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 8 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 8 \frac{d}{d x} x^{3 \cdot - 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f''' (x) = - 8 \frac{d}{d x} x^{- 3}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$f''' (x) = - 8 (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 3$ per $- 8$ .

$f''' (x) = 24 x^{- 4}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 24 (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 3.5.2

$24$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{24}{x^{4}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{24}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 4.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1})$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{4 \cdot - 1})$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{- 4})$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = 24 (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 4$ per $24$ .

$f^{4} (x) = - 96 x^{- 5}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 96 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 4.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

$- 96$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 96}{x^{5}}$

Passaggio 4.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{96}{x^{5}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{96}{x^{5}}$ .

$- \frac{96}{x^{5}}$