Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} + 2 x - 8}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 2 x$ e $g (x) = x^{2} + 2 x - 8$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.11

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 + 0)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12

Somma $2 x + 2$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Espandi $(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.7

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.8

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 16 x - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.9

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 16 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3

Somma $- 2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 16 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.4

Sottrai $16 x$ da $- 4 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 + (- x^{2} + 2 x) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.6

Espandi $(- x^{2} + 2 x) (2 x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x + 2) + 2 x (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.7.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.7.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.7.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.7.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.7.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.7.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.7.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.7.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.7.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.7.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.7.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.7.1.6.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.7.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.7.1.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.7.1.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.7.2

Somma $- 2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} - 20 x + 16 + 0 + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2.2

Somma $2 x^{2} - 20 x + 16$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 20 x + 16 + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Somma $2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 20 x + 16 + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.4

Somma $- 20 x$ e $4 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2} - 16 x + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Scomponi $4$ da $- 16 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.4

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.5

Scomponi $4$ da $4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 1.3.3.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Scomponi $x^{2} + 2 x - 8$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $2$ .

$- 2, 4$

Passaggio 1.3.4.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{((x - 2) (x + 4))}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.2

Applica la regola del prodotto a $(x - 2) (x + 4)$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ come ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 2.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$- 8$ e $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}]$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ come ${({(x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 4$ .

$- 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$- 8 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$- 8 (- 3 {(x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 3$ per $- 8$ .

$24 ({(x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} (1 + 0)$

Passaggio 3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} \cdot 1$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $24$ per $1$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

$24$ e $\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{24}{{(x + 4)}^{4}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{24}{{(x + 4)}^{4}}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}]$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$ come ${({(x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

$24 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{4 \cdot - 1}]$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 4}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 4$ .

$24 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$24 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$24 (- 4 {(x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 4.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 4$ per $24$ .

$- 96 ({(x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 4.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (1 + 0)$

Passaggio 4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} \cdot 1$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica $- 96$ per $1$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 96 \frac{1}{{(x + 4)}^{5}}$

Passaggio 4.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

$- 96$ e $\frac{1}{{(x + 4)}^{5}}$ .

$\frac{- 96}{{(x + 4)}^{5}}$

Passaggio 4.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$ .

$- \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$