Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x - e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 e^{x} (x - 1) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2.3

Scomponi $x$ da $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Passaggio 2.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1

Combina i termini opposti in $x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1.1

Riordina i fattori nei termini di $x e^{x}$ e $x (- 1 e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.4.1.2

Sottrai $e^{x} x$ da $e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.4.1.3

Somma $x (x e^{x})$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.2.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.4.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.4.3

Riordina i fattori in $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.5

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.6

Riordina i fattori in $\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$f''' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 3.5.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 3.8

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 3.8.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 3.10.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.10.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 3.10.2.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})) + x^{2} (- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))}{x^{6}}$

Passaggio 3.10.2.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})) + x^{2} (- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))}{x^{6}}$

Passaggio 3.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 3.11.2

Elimina il fattore comune.

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 3.11.3

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + x (e^{x} (2 x)) + x (- 2 (x e^{x})) + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + x (e^{x} (2 x)) + x (- 2 (x e^{x})) + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.1

Combina i termini opposti in $x (x^{2} e^{x}) + x (e^{x} (2 x)) + x (- 2 (x e^{x})) + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.1.1

Riordina i fattori nei termini di $x (e^{x} (2 x))$ e $x (- 2 (x e^{x}))$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + 2 e^{x} x \cdot x - 2 e^{x} x \cdot x + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.4.1.2

Sottrai $2 e^{x} x \cdot x$ da $2 e^{x} x \cdot x$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + 0 + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.4.1.3

Somma $x (x^{2} e^{x})$ e $0$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.4.1.4

Riordina i fattori nei termini di $x (- 2 e^{x})$ e $x (2 e^{x})$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) - 2 e^{x} x + 2 e^{x} x - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.4.1.5

Somma $- 2 e^{x} x$ e $2 e^{x} x$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + 0 - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.4.1.6

Somma $x (x^{2} e^{x})$ e $0$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.2.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} x e^{x} - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.4.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.4.2.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} x e^{x} - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.4.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = \frac{x^{2 + 1} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.4.2.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.4.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 (x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.4.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.5

Riordina i termini.

$f''' (x) = \frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x - 6 e^{x}}{x^{4}}$

Passaggio 3.12.6

Riordina i fattori in $\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x - 6 e^{x}}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{3} e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.5.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2} e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.8

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.8.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.9

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.10

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.11

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.11.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.11.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 \frac{d}{d x} e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.12

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 4.13

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 4.13.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 4.13.2.2

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.2.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x})$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 4.13.2.2.2

Scomponi $x^{3}$ da $- 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x})) + x^{3} (- 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))}{x^{8}}$

Passaggio 4.13.2.2.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x})) + x^{3} (- 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))}{x^{8}}$

Passaggio 4.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{8}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 4.14.2

Elimina il fattore comune.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 4.14.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x}) + 6 e^{x} - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (e^{x} (3 x^{2})) + x (- 3 (x^{2} e^{x})) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (e^{x} (3 x^{2})) + x (- 3 (x^{2} e^{x})) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.5.1

Combina i termini opposti in $x (x^{3} e^{x}) + x (e^{x} (3 x^{2})) + x (- 3 (x^{2} e^{x})) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.5.1.1

Riordina i fattori nei termini di $x (e^{x} (3 x^{2}))$ e $x (- 3 (x^{2} e^{x}))$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + 3 e^{x} x^{2} x - 3 e^{x} x^{2} x + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.1.2

Sottrai $3 e^{x} x^{2} x$ da $3 e^{x} x^{2} x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + 0 + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.1.3

Somma $x (x^{3} e^{x})$ e $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.1.4

Riordina i fattori nei termini di $x (6 e^{x})$ e $x (- 6 e^{x})$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + 6 e^{x} x - 6 e^{x} x - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.1.5

Sottrai $6 e^{x} x$ da $6 e^{x} x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + 0 - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.1.6

Somma $x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x}))$ e $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.5.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.5.2.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} x e^{x} + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.2.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.5.2.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} x e^{x} + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3 + 1} e^{x} + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.2.1.3

Somma $3$ e $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 3 \cdot (2 x (e^{x} x)) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.2.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.5.2.3.1

Sposta $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 3 \cdot (2 (x \cdot x) e^{x}) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.2.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 3 \cdot (2 x^{2} e^{x}) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.2.4

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.2.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x (x e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.2.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.5.2.6.1

Sposta $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 (x \cdot x) e^{x} - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.2.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.2.7

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 (x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.2.8

Moltiplica $6$ per $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 (x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.2.9

Moltiplica $- 6$ per $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.3

Combina i termini opposti in $x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.5.3.1

Somma $- 6 x^{2} e^{x}$ e $6 x^{2} e^{x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} + 0 - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.5.3.2

Somma $x^{4} e^{x}$ e $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.6

Riordina i termini.

$f^{4} (x) = \frac{e^{x} x^{4} - 4 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2} - 24 e^{x} x + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 4.15.7

Riordina i fattori in $\frac{e^{x} x^{4} - 4 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2} - 24 e^{x} x + 24 e^{x}}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x^{4} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$