Calcolo Esempi

$4 x \sec (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x \sec (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x \sec (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \sec (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\sec (x)$ per $1$ .

$4 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x (\sec (x) \tan (x))) + 4 \sec (x)$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$f' (x) = 4 x \sec (x) \tan (x) + 4 \sec (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x \sec (x) \tan (x) + 4 \sec (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x \sec (x) \tan (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x \sec (x) \tan (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x \sec (x) \tan (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x \sec (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$4 (x \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$4 (x \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$4 (x \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Passaggio 2.2.5

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (x \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Sposta $\sec^{2} (x)$ .

$4 (x (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Passaggio 2.2.7.2

Moltiplica $\sec^{2} (x)$ per $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (x (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Passaggio 2.2.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (x {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Passaggio 2.2.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $\sec (x)$ per $1$ .

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sec (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))) + 4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x \sec^{3} (x)) + 4 (\tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)))) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 x \sec^{3} (x) + 4 (x (\sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)))) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 2.4.3.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 x \sec^{3} (x) + 4 (x (\sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)))) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 2.4.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x \sec^{3} (x) + 4 (x (\sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1})) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 2.4.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$4 x \sec^{3} (x) + 4 (x (\sec (x) \tan^{2} (x))) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 2.4.3.5

Riordina i fattori di $4 \tan (x) \sec (x)$ .

$4 x \sec^{3} (x) + 4 x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 4 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 2.4.3.6

Somma $4 \sec (x) \tan (x)$ e $4 \sec (x) \tan (x)$ .

$4 x \sec^{3} (x) + 4 x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = 4 x \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec (x) \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x \sec^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \sec^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x \sec^{3} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x \sec^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sec^{3} (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)] + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (x)$ .

$4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.2.4

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.2.6

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (x (3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (x (3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.2.8

Somma $1$ e $2$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.2.9

Moltiplica $\sec^{3} (x)$ per $1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x \tan^{2} (x) \sec (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x \tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 \frac{d}{d x} [x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x \tan^{2} (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x \tan^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.3.3

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x \tan^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \tan^{2} (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\tan (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.3.6

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.3.8

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x)) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.3.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x {\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.3.10

Somma $1$ e $2$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.3.11

Moltiplica $\tan^{2} (x)$ per $1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \sec (x) \tan (x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 3.4.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 3.4.4

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Passaggio 3.4.5.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Passaggio 3.4.5.2

Somma $1$ e $2$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Passaggio 3.4.6

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Passaggio 3.4.7

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.4.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Passaggio 3.4.9

Somma $1$ e $1$ .

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.5.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 (x (\sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.5.5.2

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 (x (2 \tan (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.5.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 (x (2 \tan (x) {\sec (x)}^{1 + 2})) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.5.5.4

Somma $1$ e $2$ .

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 (x (2 \tan (x) \sec^{3} (x))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.5.5.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 8 (x (\tan (x) \sec^{3} (x))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.5.5.6

Riordina i fattori di $8 x (\tan (x) \sec^{3} (x))$ .

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 8 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 \sec (x) \tan^{2} (x) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.5.5.7

Somma $12 x \sec^{3} (x) \tan (x)$ e $8 x \sec^{3} (x) \tan (x)$ .

$20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 \sec (x) \tan^{2} (x) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Passaggio 3.5.5.8

Somma $4 \sec^{3} (x)$ e $8 \sec^{3} (x)$ .

$20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 \sec (x) \tan^{2} (x) + 12 \sec^{3} (x) + 8 \tan^{2} (x) \sec (x)$

Passaggio 3.5.5.9

Riordina i fattori di $4 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec (x) + 12 \sec^{3} (x) + 8 \tan^{2} (x) \sec (x)$

Passaggio 3.5.5.10

Somma $4 \tan^{2} (x) \sec (x)$ e $8 \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$f''' (x) = 20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 12 \tan^{2} (x) \sec (x) + 12 \sec^{3} (x)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 12 \tan^{2} (x) \sec (x) + 12 \sec^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 x \sec^{3} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x \sec^{3} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x \sec^{3} (x) \tan (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x \sec^{3} (x) \tan (x)$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x) \tan (x)]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x \sec^{3} (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$20 (x \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x)]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x)]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sec^{3} (x)$ .

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)] + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (x)$ .

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (x)$ .

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.6

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.8

Moltiplica $\sec^{3} (x)$ per $\sec^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1

Sposta $\sec^{2} (x)$ .

$20 (x (\sec^{2} (x) \sec^{3} (x)) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.8.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 (x {\sec (x)}^{2 + 3} + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.8.3

Somma $2$ e $3$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.9

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.11

Somma $1$ e $2$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.2.12

Moltiplica $\sec^{3} (x)$ per $1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x \tan^{3} (x) \sec (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x \tan^{3} (x) \sec (x)]$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 \frac{d}{d x} [x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x \tan^{3} (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x \tan^{3} (x)]) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.3.3

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x \tan^{3} (x)]) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \tan^{3} (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)] + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.3.6

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.3.8

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x (\tan^{1} (x) \tan^{3} (x)) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.3.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x {\tan (x)}^{1 + 3} \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.3.10

Somma $1$ e $3$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.3.11

Moltiplica $\tan^{3} (x)$ per $1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 \tan^{2} (x) \sec (x)$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \tan^{2} (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.4.3

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.4.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.4.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.4.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.4.5

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.4.6

Moltiplica $\tan^{2} (x)$ per $\tan (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.1

Sposta $\tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.4.6.2

Moltiplica $\tan (x)$ per $\tan^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.2.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.4.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 ({\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.4.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.4.7

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.4.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) {\sec (x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.4.9

Somma $1$ e $2$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.5

Calcola $\frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 \sec^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Passaggio 4.5.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $\sec (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 4.5.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ è $n {u_{4}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 4.5.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $\sec (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Passaggio 4.5.3

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Passaggio 4.5.4

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x))$

Passaggio 4.5.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x))$

Passaggio 4.5.6

Somma $1$ e $2$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 \sec^{3} (x) \tan (x))$

Passaggio 4.5.7

Moltiplica $3$ per $12$ .

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$20 (x \sec^{5} (x)) + 20 (\tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$20 (x \sec^{5} (x)) + 20 (\tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))) + \sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$20 (x \sec^{5} (x)) + 20 (\tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$20 (x \sec^{5} (x)) + 20 (\tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.6.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 20 (x (3 \sec^{3} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 20 (x (3 \sec^{3} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 x \sec^{5} (x) + 20 (x (3 \sec^{3} (x) {\tan (x)}^{1 + 1})) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.4

Somma $1$ e $1$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 20 (x (3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.5

Moltiplica $3$ per $20$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 60 (x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.6

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 (x (3 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 (x (3 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 2})) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.8

Somma $1$ e $2$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.9

Moltiplica $3$ per $4$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 12 (x (\tan^{2} (x) \sec^{3} (x))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.10

Riordina i fattori di $12 x (\tan^{2} (x) \sec^{3} (x))$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 12 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 4 \sec (x) \tan^{3} (x) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.11

Somma $60 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$ e $12 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 \sec (x) \tan^{3} (x) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.12

Moltiplica $2$ per $12$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 \sec (x) \tan^{3} (x) + 12 \tan^{3} (x) \sec (x) + 24 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.13

Riordina i fattori di $4 \sec (x) \tan^{3} (x)$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 \tan^{3} (x) \sec (x) + 12 \tan^{3} (x) \sec (x) + 24 \tan (x) \sec^{3} (x) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.14

Somma $4 \tan^{3} (x) \sec (x)$ e $12 \tan^{3} (x) \sec (x)$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 16 \tan^{3} (x) \sec (x) + 24 \tan (x) \sec^{3} (x) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.15

Somma $20 \tan (x) \sec^{3} (x)$ e $24 \tan (x) \sec^{3} (x)$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 44 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 16 \tan^{3} (x) \sec (x) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.16

Riordina i fattori di $44 \tan (x) \sec^{3} (x)$ .

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 44 \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 16 \tan^{3} (x) \sec (x) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Passaggio 4.6.6.17

Somma $44 \sec^{3} (x) \tan (x)$ e $36 \sec^{3} (x) \tan (x)$ .

$f^{4} (x) = 20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 80 \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 16 \tan^{3} (x) \sec (x)$