Calcolo Esempi

$f (x) = x^{5} \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{5} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{5} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

$x^{5}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 1.3.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 1.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 1.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 1.3.2.2.5

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

Passaggio 1.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} \ln (x))$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (5 x^{4} \ln (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4} \ln (x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4} \ln (x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{4} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{4} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.5

$x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.6

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.6.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.6.2.5

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 x^{3} + 5 (\ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 x^{3} + 20 (\ln (x) (x^{3}))$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $4 x^{3}$ e $5 x^{3}$ .

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 \ln (x) x^{3}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} \ln (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3} \ln (x))$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{3}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f''' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3} \ln (x))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f''' (x) = 9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3} \ln (x))$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f''' (x) = 27 x^{2} + \frac{d}{d x} (20 x^{3} \ln (x))$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3} \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3} \ln (x)$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (x^{3} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Passaggio 3.3.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 3.3.5

$x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 3.3.6

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 3.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 3.3.6.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 3.3.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 3.3.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 3.3.6.2.5

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 x^{2} + 20 (\ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $3$ per $20$ .

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 x^{2} + 60 (\ln (x) (x^{2}))$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $27 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$f''' (x) = 47 x^{2} + 60 \ln (x) x^{2}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$f''' (x) = 47 x^{2} + 60 x^{2} \ln (x)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $47 x^{2} + 60 x^{2} \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [47 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2} \ln (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (47 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2} \ln (x))$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [47 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $47$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $47 x^{2}$ rispetto a $x$ è $47 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 47 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2} \ln (x))$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 47 (2 x) + \frac{d}{d x} (60 x^{2} \ln (x))$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $2$ per $47$ .

$f^{4} (x) = 94 x + \frac{d}{d x} (60 x^{2} \ln (x))$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [60 x^{2} \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $60 x^{2} \ln (x)$ rispetto a $x$ è $60 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$f^{4} (x) = 94 x + 60 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (x))$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 4.3.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 4.3.5

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 4.3.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 4.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 4.3.6.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 4.3.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 4.3.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 4.3.6.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (x + \ln (x) (2 x))$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = 94 x + 60 x + 60 (\ln (x) (2 x))$

Passaggio 4.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica $2$ per $60$ .

$f^{4} (x) = 94 x + 60 x + 120 (\ln (x) (x))$

Passaggio 4.4.2.2

Somma $94 x$ e $60 x$ .

$f^{4} (x) = 154 x + 120 \ln (x) x$

Passaggio 4.4.3

Riordina i termini.

$f^{4} (x) = 120 x \ln (x) + 154 x$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $120 x \ln (x) + 154 x$ .

$120 x \ln (x) + 154 x$