Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{3} (x^{2} - 4)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3} (x^{2} - 4)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$3 (x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 (x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (x^{3} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.3.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$3 (x^{3} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sposta $x$ .

$3 (x \cdot x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 (x^{1} x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (x^{1 + 3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.4.3

Somma $1$ e $3$ .

$3 (x^{4} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$3 (2 \cdot x^{4} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (2 x^{4} + (x^{2} - 4) (3 x^{2}))$

Passaggio 1.7

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} - 4$ .

$3 (2 x^{4} + 3 \cdot (x^{2} - 4) x^{2})$

Passaggio 1.8

Semplifica.

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Passaggio 1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 x^{4} + (3 x^{2} + 3 \cdot - 4) x^{2})$

Passaggio 1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 x^{4} + 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 4 x^{2})$

Passaggio 1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 x^{4}) + 3 (3 x^{2} x^{2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Passaggio 1.8.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.8.4.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2} x^{2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Passaggio 1.8.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.8.4.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 3 (3 (x^{2} x^{2})) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Passaggio 1.8.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2 + 2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Passaggio 1.8.4.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$6 x^{4} + 3 (3 x^{4}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Passaggio 1.8.4.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Passaggio 1.8.4.4

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 (- 12 x^{2})$

Passaggio 1.8.4.5

Moltiplica $- 12$ per $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} - 36 x^{2}$

Passaggio 1.8.4.6

Somma $6 x^{4}$ e $9 x^{4}$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 36 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{4} - 36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{3} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$60 x^{3} - 36 (2 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 36$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 72 x$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $60 x^{3} - 72 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $60 x^{3}$ rispetto a $x$ è $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $60$ .

$180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 72 x$ rispetto a $x$ è $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$180 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$180 x^{2} - 72 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 72$ per $1$ .

$f''' (x) = 180 x^{2} - 72$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $180 x^{2} - 72$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$\frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [180 x^{2}]$ .

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Passaggio 4.2.1

Poiché $180$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $180 x^{2}$ rispetto a $x$ è $180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$180 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72]$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $2$ per $180$ .

$360 x + \frac{d}{d x} [- 72]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.3.1

Poiché $- 72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 72$ rispetto a $x$ è $0$ .

$360 x + 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $360 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 360 x$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $360 x$ .

$360 x$