Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 16$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 16$ .

$\frac{1}{x^{2} + 16} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 16} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 16} (2 x + \frac{d}{d x} [16])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 16} (2 x + 0)$

Passaggio 1.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 16} (2 x)$

Passaggio 1.2.4.2

$2$ e $\frac{1}{x^{2} + 16}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 16} x$

Passaggio 1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 16}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 16}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x^{2} + 16}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

$2 \frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x^{2} + 16$ per $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$2 \frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.9

$2$ e $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 2.10.2.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 32] - (- 2 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 32] - (- 2 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 32] - (- 2 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{2} + 32$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]) - (- 2 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]) - (- 2 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [32]) - (- 2 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} [32]) - (- 2 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.2.6

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $32$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.2.7

Somma $- 4 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 32) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 32) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 32) (2 (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 32) ((x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 32) ((x^{2} + 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 32) ((x^{2} + 16) (2 x + \frac{d}{d x} [16]))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.4.4

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 32) ((x^{2} + 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 32) ((x^{2} + 16) (2 x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.4.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 32) (2 \cdot (x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.4.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} + 32) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 4 {(x^{2} + 16)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi ${(x^{2} + 16)}^{2}$ come $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ .

$\frac{- 4 ((x^{2} + 16) (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.3

Espandi $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 (x^{2} (x^{2} + 16) + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.4.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.4.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.4.1.2

Sposta $16$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{- 4 (x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.4.1.3

Moltiplica $16$ per $16$ .

$\frac{- 4 (x^{4} + 16 x^{2} + 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.4.2

Somma $16 x^{2}$ e $16 x^{2}$ .

$\frac{- 4 (x^{4} + 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(- 4 x^{4} - 4 (32 x^{2}) - 4 \cdot 256) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.6.1

Moltiplica $32$ per $- 4$ .

$\frac{(- 4 x^{4} - 128 x^{2} - 4 \cdot 256) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.6.2

Moltiplica $- 4$ per $256$ .

$\frac{(- 4 x^{4} - 128 x^{2} - 1024) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 x^{4} x - 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.8.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 4 (x \cdot x^{4}) - 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 (x^{1} x^{4}) - 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 x^{1 + 4} - 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.8.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{2} x - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 (x \cdot x^{2}) - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 (x^{1} x^{2}) - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{1 + 2} - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.9.1

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.9.2

Moltiplica $- 4$ per $32$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} - 128) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.10

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.10.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} - 128) (x^{2} x^{1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.10.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} - 128) (x^{2 + 1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.10.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + (8 x^{2} - 128) (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.11

Espandi $(8 x^{2} - 128) (x^{3} + 16 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{2} (x^{3} + 16 x) - 128 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (16 x) - 128 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (16 x) - 128 x^{3} - 128 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.12.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.12.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} (16 x) - 128 x^{3} - 128 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} (16 x) - 128 x^{3} - 128 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} (16 x) - 128 x^{3} - 128 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot 16 x^{2} x - 128 x^{3} - 128 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.12.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot 16 (x \cdot x^{2}) - 128 x^{3} - 128 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot 16 (x^{1} x^{2}) - 128 x^{3} - 128 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot 16 x^{1 + 2} - 128 x^{3} - 128 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 8 \cdot 16 x^{3} - 128 x^{3} - 128 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.1.4

Moltiplica $8$ per $16$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 128 x^{3} - 128 x^{3} - 128 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.1.5

Moltiplica $16$ per $- 128$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 128 x^{3} - 128 x^{3} - 2048 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.2

Sottrai $128 x^{3}$ da $128 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} + 0 - 2048 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.1.12.3

Somma $8 x^{5}$ e $0$ .

$\frac{- 4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x + 8 x^{5} - 2048 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.2

Somma $- 4 x^{5}$ e $8 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{5} - 128 x^{3} - 1024 x - 2048 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3.3

Sottrai $2048 x$ da $- 1024 x$ .

$\frac{4 x^{5} - 128 x^{3} - 3072 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{5} - 128 x^{3} - 3072 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{5}$ .

$\frac{4 x (x^{4}) - 128 x^{3} - 3072 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 128 x^{3}$ .

$\frac{4 x (x^{4}) + 4 x (- 32 x^{2}) - 3072 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.1.3

Scomponi $4 x$ da $- 3072 x$ .

$\frac{4 x (x^{4}) + 4 x (- 32 x^{2}) + 4 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.1.4

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{4}) + 4 x (- 32 x^{2})$ .

$\frac{4 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 4 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.1.5

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 4 x (- 768)$ .

$\frac{4 x (x^{4} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{4 x ({(x^{2})}^{2} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$\frac{4 x (u^{2} - 32 u - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.4

Scomponi $u^{2} - 32 u - 768$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 768$ e la cui somma è $- 32$ .

$- 48, 16$

Passaggio 3.5.4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{4 x ((u - 48) (u + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{4 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 16$ e ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Scomponi $x^{2} + 16$ da $4 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)$ .

$\frac{(x^{2} + 16) (4 x (x^{2} - 48))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 3.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 16$ da ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} + 16) (4 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 16) (4 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 3.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = \frac{4 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}]$

Passaggio 4.2

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 48)] - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{({(x^{2} + 16)}^{3})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 16)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 48)] - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{(x^{2} + 16)}^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 48)] - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 48$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 48] + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 48$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 48]) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.5.3

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.5.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (x (2 x) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.9

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (2 x^{2} + (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.9.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (2 x^{2} + (x^{2} - 48) \cdot 1) - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.9.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.3.1

Moltiplica $x^{2} - 48$ per $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (2 x^{2} + x^{2} - 48) - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.9.3.2

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (3 x^{2} - 48) - x (x^{2} - 48) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{3}]}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.10

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 16$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (3 x^{2} - 48) - x (x^{2} - 48) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.10.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (3 x^{2} - 48) - x (x^{2} - 48) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.10.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 16$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (3 x^{2} - 48) - x (x^{2} - 48) (3 {(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.11

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{3} (3 x^{2} - 48) - 3 x (x^{2} - 48) ({(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.11.2

Scomponi ${(x^{2} + 16)}^{2}$ da ${(x^{2} + 16)}^{3} (3 x^{2} - 48) - 3 x (x^{2} - 48) ({(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.2.1

Scomponi ${(x^{2} + 16)}^{2}$ da ${(x^{2} + 16)}^{3} (3 x^{2} - 48)$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} ((x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48)) - 3 x (x^{2} - 48) ({(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.11.2.2

Scomponi ${(x^{2} + 16)}^{2}$ da $- 3 x (x^{2} - 48) ({(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} ((x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48)) + {(x^{2} + 16)}^{2} (- 3 x (x^{2} - 48) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 16]))}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.11.2.3

Scomponi ${(x^{2} + 16)}^{2}$ da ${(x^{2} + 16)}^{2} ((x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48)) + {(x^{2} + 16)}^{2} (- 3 x (x^{2} - 48) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 16]))$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} ((x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 3 x (x^{2} - 48) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 16]))}{{(x^{2} + 16)}^{6}}$

Passaggio 4.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Scomponi ${(x^{2} + 16)}^{2}$ da ${(x^{2} + 16)}^{6}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} ((x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 3 x (x^{2} - 48) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 16]))}{{(x^{2} + 16)}^{2} {(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.12.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} ((x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 3 x (x^{2} - 48) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 16]))}{{(x^{2} + 16)}^{2} {(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.12.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{(x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 3 x (x^{2} - 48) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$4 \frac{(x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 3 x (x^{2} - 48) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 \frac{(x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 3 x (x^{2} - 48) (2 x + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.15

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{(x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 3 x (x^{2} - 48) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.16

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.16.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$4 \frac{(x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 3 x (x^{2} - 48) (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.16.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$4 \frac{(x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 6 x (x^{2} - 48) x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.17

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 6 (x^{1} x) (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.18

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 6 (x^{1} x^{1}) (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.19

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{(x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 6 x^{1 + 1} (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.20

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 6 x^{2} (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.21

$4$ e $\frac{(x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 6 x^{2} (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 6 x^{2} (x^{2} - 48))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 ((x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48) - 6 x^{2} x^{2} - 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 ((x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48)) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.3.1.1

Espandi $(x^{2} + 16) (3 x^{2} - 48)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (x^{2} (3 x^{2} - 48) + 16 (3 x^{2} - 48)) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 48 + 16 (3 x^{2} - 48)) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 48 + 16 (3 x^{2}) + 16 \cdot - 48) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.3.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 48 + 16 (3 x^{2}) + 16 \cdot - 48) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.3.1.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 48 + 16 (3 x^{2}) + 16 \cdot - 48) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.2.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 48 + 16 (3 x^{2}) + 16 \cdot - 48) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.2.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{4 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 48 + 16 (3 x^{2}) + 16 \cdot - 48) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.2.1.3

Sposta $- 48$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{4} - 48 \cdot x^{2} + 16 (3 x^{2}) + 16 \cdot - 48) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.2.1.4

Moltiplica $3$ per $16$ .

$\frac{4 (3 x^{4} - 48 x^{2} + 48 x^{2} + 16 \cdot - 48) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.2.1.5

Moltiplica $16$ per $- 48$ .

$\frac{4 (3 x^{4} - 48 x^{2} + 48 x^{2} - 768) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.2.2

Somma $- 48 x^{2}$ e $48 x^{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{4} + 0 - 768) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.2.3

Somma $3 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{4 (3 x^{4} - 768) + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (3 x^{4}) + 4 \cdot - 768 + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 x^{4} + 4 \cdot - 768 + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.5

Moltiplica $4$ per $- 768$ .

$\frac{12 x^{4} - 3072 + 4 (- 6 x^{2} x^{2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.3.1.6.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{4} - 3072 + 4 (- 6 (x^{2} x^{2})) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{12 x^{4} - 3072 + 4 (- 6 x^{2 + 2}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.6.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{12 x^{4} - 3072 + 4 (- 6 x^{4}) + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.7

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$\frac{12 x^{4} - 3072 - 24 x^{4} + 4 (- 6 x^{2} \cdot - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.8

Moltiplica $- 48$ per $- 6$ .

$\frac{12 x^{4} - 3072 - 24 x^{4} + 4 (288 x^{2})}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.1.9

Moltiplica $288$ per $4$ .

$\frac{12 x^{4} - 3072 - 24 x^{4} + 1152 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3.2

Sottrai $24 x^{4}$ da $12 x^{4}$ .

$\frac{- 12 x^{4} - 3072 + 1152 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4

Riordina i termini.

$\frac{- 12 x^{4} + 1152 x^{2} - 3072}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.5

Scomponi $12$ da $- 12 x^{4} + 1152 x^{2} - 3072$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.5.1

Scomponi $12$ da $- 12 x^{4}$ .

$\frac{12 (- x^{4}) + 1152 x^{2} - 3072}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.5.2

Scomponi $12$ da $1152 x^{2}$ .

$\frac{12 (- x^{4}) + 12 (96 x^{2}) - 3072}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.5.3

Scomponi $12$ da $- 3072$ .

$\frac{12 (- x^{4}) + 12 (96 x^{2}) + 12 (- 256)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.5.4

Scomponi $12$ da $12 (- x^{4}) + 12 (96 x^{2})$ .

$\frac{12 (- x^{4} + 96 x^{2}) + 12 (- 256)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.5.5

Scomponi $12$ da $12 (- x^{4} + 96 x^{2}) + 12 (- 256)$ .

$\frac{12 (- x^{4} + 96 x^{2} - 256)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.6

Scomponi $- 1$ da $- x^{4}$ .

$\frac{12 (- (x^{4}) + 96 x^{2} - 256)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.7

Scomponi $- 1$ da $96 x^{2}$ .

$\frac{12 (- (x^{4}) - (- 96 x^{2}) - 256)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.8

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4}) - (- 96 x^{2})$ .

$\frac{12 (- (x^{4} - 96 x^{2}) - 256)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.9

Riscrivi $- 256$ come $- 1 (256)$ .

$\frac{12 (- (x^{4} - 96 x^{2}) - 1 (256))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.10

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4} - 96 x^{2}) - 1 (256)$ .

$\frac{12 (- (x^{4} - 96 x^{2} + 256))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.11

Riscrivi $- (x^{4} - 96 x^{2} + 256)$ come $- 1 (x^{4} - 96 x^{2} + 256)$ .

$\frac{12 (- 1 (x^{4} - 96 x^{2} + 256))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 4.22.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{12 (x^{4} - 96 x^{2} + 256)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{12 (x^{4} - 96 x^{2} + 256)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$ .

$- \frac{12 (x^{4} - 96 x^{2} + 256)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$