Calcolo Esempi

$y = \ln (3 x^{2} + 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 1} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 1} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 1} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 1} (6 x + 0)$

Passaggio 1.2.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $6 x$ e $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 1} (6 x)$

Passaggio 1.2.6.2

$6$ e $\frac{1}{3 x^{2} + 1}$ .

$\frac{6}{3 x^{2} + 1} x$

Passaggio 1.2.6.3

$\frac{6}{3 x^{2} + 1}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{6 x}{3 x^{2} + 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 1}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 1}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

$6 \frac{(3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \frac{(3 x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $3 x^{2} + 1$ per $1$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - x (6 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Somma $6 x$ e $0$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - x (6 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3.8.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - 6 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - 6 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - 6 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - 6 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - 6 x^{2}}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Sottrai $6 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$6 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.9

$6$ e $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10.2.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 6}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10.3

Scomponi $6$ da $- 18 x^{2} + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1

Scomponi $6$ da $- 18 x^{2}$ .

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10.3.2

Scomponi $6$ da $6$ .

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 (1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10.3.3

Scomponi $6$ da $6 (- 3 x^{2}) + 6 (1)$ .

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{6 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10.5

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{6 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{6 (- (3 x^{2} - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10.7

Riscrivi $- (3 x^{2} - 1)$ come $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$\frac{6 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}]$

Passaggio 3.2

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (6 x + 0) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Somma $6 x$ e $0$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (6 x) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3.7.2

Sposta $6$ alla sinistra di ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- 6 \frac{6 \cdot {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{2} + 1$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - (3 x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - (3 x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2} + 1$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - (3 x^{2} - 1) (2 (3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) (6 x + 0))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1

Somma $6 x$ e $0$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) (6 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.7.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.2.1

Sposta $6$ alla sinistra di $3 x^{2} + 1$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) (6 \cdot (3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.7.2.2

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 12 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.7.3

$- 6$ e $\frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 12 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 6 (6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 12 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{6 (6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 12 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{6 (6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x + (- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) ((3 x^{2} + 1) x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{6 (6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x + (- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{6 (6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.1

Riscrivi ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ come $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ .

$- \frac{6 (6 ((3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.2

Espandi $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{6 (6 (3 x^{2} (3 x^{2} + 1) + 1 (3 x^{2} + 1)) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{6 (6 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2} + 1)) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{6 (6 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{6 (6 (3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$- \frac{6 (6 (3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{6 (6 (3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$- \frac{6 (6 (3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{6 (6 (9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.3.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{6 (6 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.3.1.5

Moltiplica $3 x^{2}$ per $1$ .

$- \frac{6 (6 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.3.1.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- \frac{6 (6 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.3.2

Somma $3 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$- \frac{6 (6 (9 x^{4} + 6 x^{2} + 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{6 ((6 (9 x^{4}) + 6 (6 x^{2}) + 6 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.5.1

Moltiplica $9$ per $6$ .

$- \frac{6 ((54 x^{4} + 6 (6 x^{2}) + 6 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.5.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$- \frac{6 ((54 x^{4} + 36 x^{2} + 6 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.5.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- \frac{6 ((54 x^{4} + 36 x^{2} + 6) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{6 (54 x^{4} x + 36 x^{2} x + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.7.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.7.1.1

Sposta $x$ .

$- \frac{6 (54 (x \cdot x^{4}) + 36 x^{2} x + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.7.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{6 (54 (x^{1} x^{4}) + 36 x^{2} x + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.7.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{6 (54 x^{1 + 4} + 36 x^{2} x + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.7.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$- \frac{6 (54 x^{5} + 36 x^{2} x + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.7.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.7.2.1

Sposta $x$ .

$- \frac{6 (54 x^{5} + 36 (x \cdot x^{2}) + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.7.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.7.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{6 (54 x^{5} + 36 (x^{1} x^{2}) + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.7.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{6 (54 x^{5} + 36 x^{1 + 2} + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.7.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{6 (54 x^{5} + 36 x^{3} + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{6 (54 x^{5}) + 6 (36 x^{3}) + 6 (6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.9.1

Moltiplica $54$ per $6$ .

$- \frac{324 x^{5} + 6 (36 x^{3}) + 6 (6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.9.2

Moltiplica $36$ per $6$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 6 (6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.9.3

Moltiplica $6$ per $6$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.10.1

Moltiplica $3$ per $- 12$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 36 x^{2} - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.10.2

Moltiplica $- 12$ per $- 1$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 36 x^{2} + 12) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.11.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.11.1.1

Sposta $x$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 36 x^{2} + 12) (3 (x \cdot x^{2}) + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.11.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.11.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 36 x^{2} + 12) (3 (x^{1} x^{2}) + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.11.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 36 x^{2} + 12) (3 x^{1 + 2} + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.11.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 36 x^{2} + 12) (3 x^{3} + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.11.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 36 x^{2} + 12) (3 x^{3} + x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.12

Espandi $(- 36 x^{2} + 12) (3 x^{3} + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 36 x^{2} (3 x^{3} + x) + 12 (3 x^{3} + x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 36 x^{2} (3 x^{3}) - 36 x^{2} x + 12 (3 x^{3} + x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 36 x^{2} (3 x^{3}) - 36 x^{2} x + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.13

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.13.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 36 \cdot 3 x^{2} x^{3} - 36 x^{2} x + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.13.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.13.1.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 36 \cdot 3 (x^{3} x^{2}) - 36 x^{2} x + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.13.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 36 \cdot 3 x^{3 + 2} - 36 x^{2} x + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.13.1.2.3

Somma $3$ e $2$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 36 \cdot 3 x^{5} - 36 x^{2} x + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.13.1.3

Moltiplica $- 36$ per $3$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} - 36 x^{2} x + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.13.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.13.1.4.1

Sposta $x$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} - 36 (x \cdot x^{2}) + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.13.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.13.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} - 36 (x^{1} x^{2}) + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.13.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} - 36 x^{1 + 2} + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.13.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} - 36 x^{3} + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.13.1.5

Moltiplica $3$ per $12$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} - 36 x^{3} + 36 x^{3} + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.13.2

Somma $- 36 x^{3}$ e $36 x^{3}$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} + 0 + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.13.3

Somma $- 108 x^{5}$ e $0$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.14

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5}) + 6 (12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.15

Moltiplica $- 108$ per $6$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x - 648 x^{5} + 6 (12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.16

Moltiplica $12$ per $6$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x - 648 x^{5} + 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.2

Sottrai $648 x^{5}$ da $324 x^{5}$ .

$- \frac{- 324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.3

Somma $36 x$ e $72 x$ .

$- \frac{- 324 x^{5} + 216 x^{3} + 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.1

Scomponi $108 x$ da $- 324 x^{5} + 216 x^{3} + 108 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.1.1

Scomponi $108 x$ da $- 324 x^{5}$ .

$- \frac{108 x (- 3 x^{4}) + 216 x^{3} + 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.1.2

Scomponi $108 x$ da $216 x^{3}$ .

$- \frac{108 x (- 3 x^{4}) + 108 x (2 x^{2}) + 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.1.3

Scomponi $108 x$ da $108 x$ .

$- \frac{108 x (- 3 x^{4}) + 108 x (2 x^{2}) + 108 x (1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.1.4

Scomponi $108 x$ da $108 x (- 3 x^{4}) + 108 x (2 x^{2})$ .

$- \frac{108 x (- 3 x^{4} + 2 x^{2}) + 108 x (1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.1.5

Scomponi $108 x$ da $108 x (- 3 x^{4} + 2 x^{2}) + 108 x (1)$ .

$- \frac{108 x (- 3 x^{4} + 2 x^{2} + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{108 x (- 3 {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- \frac{108 x (- 3 u^{2} + 2 u + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 u$ .

$- \frac{108 x (- 3 u^{2} + 2 (u) + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.4.1.2

Riscrivi $2$ come $- 1$ più $3$ .

$- \frac{108 x (- 3 u^{2} + (- 1 + 3) u + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{108 x (- 3 u^{2} - 1 u + 3 u + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- \frac{108 x ((- 3 u^{2} - 1 u) + 3 u + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- \frac{108 x (u (- 3 u - 1) - (- 3 u - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 3 u - 1$ .

$- \frac{108 x ((- 3 u - 1) (u - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- \frac{108 x ((- 3 x^{2} - 1) (x^{2} - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.6

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{108 x ((- 3 x^{2} - 1) (x^{2} - 1^{2}))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5.7

Scomponi.

$- \frac{108 x (- 3 x^{2} - 1) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.6

Elimina il fattore comune di $- 3 x^{2} - 1$ e ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.6.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{108 x (- (3 x^{2}) - 1) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.6.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- \frac{108 x (- (3 x^{2}) - 1 (1)) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ .

$- \frac{108 x (- (3 x^{2} + 1)) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.6.4

Riscrivi $- (3 x^{2} + 1)$ come $- 1 (3 x^{2} + 1)$ .

$- \frac{108 x (- 1 (3 x^{2} + 1)) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.6.5

Scomponi $3 x^{2} + 1$ da $108 x (- 1 (3 x^{2} + 1)) (x + 1) (x - 1)$ .

$- \frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x \cdot (- 1) (x + 1)) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6.6.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.6.6.1

Scomponi $3 x^{2} + 1$ da ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$- \frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x \cdot (- 1) (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.6.6.6.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x \cdot (- 1) (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.6.6.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{(108 x \cdot (- 1) (x + 1)) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.6.7

Moltiplica $- 1$ per $108$ .

$- \frac{- 108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.6.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{(108 x (x + 1)) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.6.9

Moltiplica $- - \frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.6.9.2

Moltiplica $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ per $1$ .

$f''' (x) = \frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $108$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $108 \frac{d}{d x} [\frac{(x (x + 1)) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ .

$108 \frac{d}{d x} [\frac{(x (x + 1)) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Passaggio 4.2

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x + 1) (x - 1)] - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x + 1) (x - 1)] - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x + 1) (x - 1)] - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x (x + 1)$ e $g (x) = x - 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x (x + 1)]) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x (x + 1)]) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x (x + 1)]) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.5.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x (x + 1)]) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x (x + 1)]) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.5.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x (x + 1)]) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.7.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.7.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.7.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.7.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x + (x + 1) \cdot 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.7.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.6.1

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x + x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.7.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{2} + 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2} + 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) (3 {(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.9

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) ({(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.9.2

Scomponi ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ da ${(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) ({(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.1

Scomponi ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ da ${(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} ((3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))) - 3 x (x + 1) (x - 1) ({(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.9.2.2

Scomponi ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ da $- 3 x (x + 1) (x - 1) ({(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} ((3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))) + {(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 3 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.9.2.3

Scomponi ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ da ${(3 x^{2} + 1)}^{2} ((3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))) + {(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 3 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]))$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} ((3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Passaggio 4.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Scomponi ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ da ${(3 x^{2} + 1)}^{6}$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} ((3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{2} {(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.10.2

Elimina il fattore comune.

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} ((3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{2} {(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.10.3

Riscrivi l'espressione.

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.12

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.14

Moltiplica $2$ per $3$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (6 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.15

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.16

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.16.1

Somma $6 x$ e $0$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (6 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.16.2

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 x (x + 1) (x - 1) x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.17

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 (x^{1} x) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.18

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 (x^{1} x^{1}) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.19

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 x^{1 + 1} (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.20

Somma $1$ e $1$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 x^{2} (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.21

$108$ e $\frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 x^{2} (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 x^{2} (x + 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x \cdot x + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 x^{2} (x + 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x \cdot x + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1)) + (- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x \cdot x + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1))) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1))) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + (x - 1) (2 x + 1))) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.1.3

Espandi $(x - 1) (2 x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + x (2 x + 1) - 1 (2 x + 1))) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x + 1))) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.1.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.1.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.1.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.1.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.1.4.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.1.4.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x - 2 x - 1 \cdot 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.1.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x - 2 x - 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.1.4.2

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} - x - 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.2

Combina i termini opposti in $x^{2} + x + 2 x^{2} - x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + 2 x^{2} + 0 - 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.2.2

Somma $x^{2} + 2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + 2 x^{2} - 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.3

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (3 x^{2} - 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.4

Espandi $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{108 (3 x^{2} (3 x^{2} - 1) + 1 (3 x^{2} - 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{108 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2} - 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{108 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.5

Combina i termini opposti in $3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.5.1

Riordina i fattori nei termini di $3 x^{2} \cdot - 1$ e $1 (3 x^{2})$ .

$\frac{108 (3 x^{2} (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 x^{2} + 1 \cdot 3 x^{2} + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.5.2

Somma $- 1 \cdot 3 x^{2}$ e $1 \cdot 3 x^{2}$ .

$\frac{108 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 0 + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.5.3

Somma $3 x^{2} (3 x^{2})$ e $0$ .

$\frac{108 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.6.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{108 (3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.6.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.6.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{108 (3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{108 (3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.6.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{108 (3 \cdot 3 x^{4} + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.6.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{108 (9 x^{4} + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.6.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{108 (9 x^{4} - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{108 (9 x^{4}) + 108 \cdot - 1 + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.8

Moltiplica $9$ per $108$ .

$\frac{972 x^{4} + 108 \cdot - 1 + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.9

Moltiplica $108$ per $- 1$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.10.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 ((- 18 (x \cdot x^{2}) - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.10.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.10.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 ((- 18 (x^{1} x^{2}) - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.10.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 ((- 18 x^{1 + 2} - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.10.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 ((- 18 x^{3} - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.10.2

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 ((- 18 x^{3} - 18 x^{2}) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.11

Espandi $(- 18 x^{3} - 18 x^{2}) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{3} (x - 1) - 18 x^{2} (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{3} x - 18 x^{3} \cdot - 1 - 18 x^{2} (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{3} x - 18 x^{3} \cdot - 1 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.12.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.12.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 (x \cdot x^{3}) - 18 x^{3} \cdot - 1 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.12.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.12.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 (x^{1} x^{3}) - 18 x^{3} \cdot - 1 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.12.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{1 + 3} - 18 x^{3} \cdot - 1 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.12.1.1.3

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} - 18 x^{3} \cdot - 1 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.12.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 18$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.12.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.12.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 18 x^{3} - 18 (x \cdot x^{2}) - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.12.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.4.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 18 x^{3} - 18 (x^{1} x^{2}) - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.12.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{1 + 2} - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.12.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{3} - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.12.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 18$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{3} + 18 x^{2})}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.12.2

Sottrai $18 x^{3}$ da $18 x^{3}$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 0 + 18 x^{2})}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.12.3

Somma $- 18 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 18 x^{2})}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.13

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4}) + 108 (18 x^{2})}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.14

Moltiplica $- 18$ per $108$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 - 1944 x^{4} + 108 (18 x^{2})}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.1.15

Moltiplica $18$ per $108$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 - 1944 x^{4} + 1944 x^{2}}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.4.2

Sottrai $1944 x^{4}$ da $972 x^{4}$ .

$\frac{- 972 x^{4} - 108 + 1944 x^{2}}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.5

Riordina i termini.

$\frac{- 972 x^{4} + 1944 x^{2} - 108}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.6

Scomponi $108$ da $- 972 x^{4} + 1944 x^{2} - 108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.6.1

Scomponi $108$ da $- 972 x^{4}$ .

$\frac{108 (- 9 x^{4}) + 1944 x^{2} - 108}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.6.2

Scomponi $108$ da $1944 x^{2}$ .

$\frac{108 (- 9 x^{4}) + 108 (18 x^{2}) - 108}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.6.3

Scomponi $108$ da $- 108$ .

$\frac{108 (- 9 x^{4}) + 108 (18 x^{2}) + 108 (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.6.4

Scomponi $108$ da $108 (- 9 x^{4}) + 108 (18 x^{2})$ .

$\frac{108 (- 9 x^{4} + 18 x^{2}) + 108 (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.6.5

Scomponi $108$ da $108 (- 9 x^{4} + 18 x^{2}) + 108 (- 1)$ .

$\frac{108 (- 9 x^{4} + 18 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.7

Scomponi $- 1$ da $- 9 x^{4}$ .

$\frac{108 (- (9 x^{4}) + 18 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.8

Scomponi $- 1$ da $18 x^{2}$ .

$\frac{108 (- (9 x^{4}) - (- 18 x^{2}) - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.9

Scomponi $- 1$ da $- (9 x^{4}) - (- 18 x^{2})$ .

$\frac{108 (- (9 x^{4} - 18 x^{2}) - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.10

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{108 (- (9 x^{4} - 18 x^{2}) - 1 (1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.11

Scomponi $- 1$ da $- (9 x^{4} - 18 x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{108 (- (9 x^{4} - 18 x^{2} + 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.12

Riscrivi $- (9 x^{4} - 18 x^{2} + 1)$ come $- 1 (9 x^{4} - 18 x^{2} + 1)$ .

$\frac{108 (- 1 (9 x^{4} - 18 x^{2} + 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 4.22.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{108 (9 x^{4} - 18 x^{2} + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$